Démonstration loi de Kepler

[Baptiste TS]

Bonjour,
Durant les vacances je dois me préparer à une évaluation dont le professeur nous a donné le sujet :

On considère à présent un satellite de masse m se déplaçant à la vitesse sur une orbite circulaire de rayon R autour d’un astre de masse M. L’astre en question est un référentiel galiléen et le satellite subit l’action de la force de gravitation.

1.Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
2.Établir l’expression de la valeur de la vitesse du satellite en fonction de G , M et R.
3.Établir l’expression de la période T de révolution orbitale du satellite en fonction de G , M et R.

Pour la question 1, j'en suis arrivé à trouver une accélération constante à l'aide de la deuxième loi de Newton comme ceci :

F(A/S) = -G (m*M)/(AS)^2 . u
Avec A l'astre et S le satellite

J'en ai alors déduit
sommeFext = m.a
Soit
F(A/S) = m.a
Soit
a = -G (M/(AS)^2)
a = constante

Et je ne vois pas comment interpréter cette valeur de a constante pour le mouvement.

Merci d'avance de votre aide

[SoS(3)]

Bonjour Baptiste,

votre démonstration n'est pas tout à fait exacte ; la deuxième loi de Newton permet de déduire que l' accélération est purement radiale puisque en effet ( les vecteurs sont écrits en gras) a = - G M/ (AS)² u.
Or pour un mouvement circulaire quelconque , on a a = dv/dt n - v²/R u ; je vous laisse continuer la démonstration pour montrer qu'il s'agit d'un MCU et calculer v.

[Baptiste TS]

Bonjour,

Merci de votre réponse,

Je me suis placé dans un repère de Frenet, j'ai déduit comme vous avez dit l'accélération a = dV/dt. T + V^2/R . N

Je crois qu'il faut mettre une relation avec la force gravitationnelle mais je vois pas trop comment faire...

Merci de votre aide
Cordialement

[SoS(38)]

Bonjour,

Vous avez déjà exploité la force d'interaction gravitationnelle mais pas complètement.

Il faut bien que vous voyez suivant quel vecteur unitaire N ou T l'accélération est orientée pour la comparer (en égalant les deux expressions) , à l'accélération dans le repère de Frénet.

En regardant ce que vous obtiendrez de chaque côté de l'équation, vous devriez pouvoir conclure.

[Baptiste TS]

J'ai rédigé comme ceci, je ne sais pas si c'est juste notamment pour la rédaction de la force gravitationnelle :

http://hpics.li/ec94390

Merci beaucoup pour votre aide

PS : J'ai eu du mal à importer l'image, si cela ne vous convient pas je peux le rédiger à l'ordinateur

Cordialement

[SoS(38)]

Enlevez la flèche sur le v à la fin sur dv/dt , ce n'est pas un vecteur.
Votre démonstration est juste.

Vous pouvez ensuite appliquer la remarque précédente.

Effectuer l'égalité entre votre accélération vectorielle et l'accélération dans le repère vde Frénet ce qui vous donnera v² puis v qui est bien une constante.

[Baptiste TS]

Je ne comprend bien ce que vous entendez par accélération vectorielle et accélération de le repère de Frenet...

Cordialement

[SoS(38)]

Il faut égaler votre expression a = - G M /R². N avec a = dv/dt . T + v²/R .N pour sortir la valeur de v² puis v simplement

[Baptiste TS]

Bonsoir,

Voici ce que j'ai rédigé pour les deux premières questions, j'espère que cela est correct...

Pour la dernière question, est ce possible d'utiliser cette formule

V = d / T
T = d / V


Avec d = 2piR T v, la valeur trouvée dans la question 1 ?

Merci de votre aide

Cordialement

[SoS(38)]

Bonsoir,

Oui je suis d'accord avec ce que vous avez rédigé.

Il y a plus simple. Vous avez déterminé a = - GM/ r² . N et vous savez que a = dv/dt .T - v²/r . N

On a donc - GM/ r² .N = dv/dt .T - v²/r .N

Cela implique aussitôt que dv/dt .T = 0 et - GM/ r² .N = - v²/r .N

et donc dv/dt = 0 et GM/ r² = v² /r ce que vous avez trouvé.

Isolez pour finir v² puis v.

[Baptiste TS]

Bonsoir,

Merci de votre réponse.

J'ai testé cette méthode et en effet ça marche, merci beaucoup.

Cependant, il me reste une question à propos du signe et du sens de N, le vecteur unitaire.

Dans la question 1, j'ai défini N comme perpendiculaire au tangentiel et et dirigé vers l'intérieur de la courbure de trajectoire.
Du coup je me pose la question pour mes formules notamment au niveau des signe, j'ai mis :

a = dv/dt.T + v^2/R.N (avec un + donc)

De même dans la question 2, j'ai défini ce même vecteur et j'ai mis :

G = - (G.M)/R^2 . N (avec un -)

Et a = v^2/R . N

Est ce que cela est juste ou ai-je fait une erreur de signe quelque part ?

Encore merci pour votre aide.

[SoS(38)]

Bonsoir, le mieux est que vous me renvoyez un schéma.
Nous avons parlé de plusieurs notations en effet et je pense qu'il y a des ambiguïtés. Il faut que je vérifie les signes par rapport au schéma.

Le vecteur normal n est orienté vers l'intérieur et tangent au rayon.
Le vecteur normal u est orienté vers l'extérieur et tangent au rayon.
Le vecteur tangentiel t est tangentiel à la trajectoire et dans le sens du mouvement ( et perpendiculaire au rayon)

[Baptiste TS]

Voici le schéma auquel je pense : http://hpics.li/2f6e4ea
Par contre je ne me suis pas servi du vecteur u

J'ai mis au tout début des démonstrations : "En se plaçant dans le repère de Frénet, le vecteur accélération se décompose orthogonalement suivant le vecteur unitaire T tangentiel à la trajectoire et le vecteur unitaire N qui est lui est perpendiculaire et dirigé vers l'intérieur de la courbure de la trajectoire" :

a = dv/dt. T + v^2/R. N

[SoS(38)]

Bonsoir,

Oui, cela me semble bon.

(vecteur a) = dv/dt .T + v²/r .N

(vecteur F) = m (vecteur a) soit GMm/r² .N = m (vecteur a) donc (vecteur a) = GM/r² .N

On a alors GM/r² .N = dv/dt .T + v²/r .N

On a donc dv/dt = 0 et GM/r² = v²/r soit v² = GM/r

[Baptiste TS]

D'accord merci de votre aide je vais le rédiger correctement du coup.