Relativité du temps

[Aurore SSI]

Bonjour,

Nous avons écris un nouveau chapitre sur la relativité du temps mais j'ai quelques soucis à le résoudre. C'est un exercice "OBJECTIF BAC". J'aimerai quelques petits conseils pour le résoudre.

Exercice :

Si on observe un échantillon contenant un grand nombre de particules instables odentique et immobiles, la moitié de ces particules se désintègrent au bout de la durée t(1/2), appelée demi-vie de la particule concernée. Cette durée est indépendante de l'âge de l'échantillon. Le nombre de particules N(t) restant dans l'échantillon, à une date t quelconque, est donnée par l'expression suivante où N(0) est le nombre de particules à l'instant t= 0s :

\(N(t)=N(0)e^(^(^-^t^*^0.693^)^/^(^t^1^/^2^)^)\)

Le méson π⁺ est une particule instable dont la demi-vie est de t(1/2)=1.80*10^(-8) s.
A la sortie d'una ccélérateur, on envoie vers une cible des paquets de mésons π⁺ qui circulent à la vitesse constante 0.9995 c. La cible est à la distance L=100 m de la sortie de l'accélérateur.

a) Dans le référentiel du laboratoire, au bout de combien de temps le nombre de mésons π⁺ d'un paquet est divisé par 2 ? Pendant cette durée, quelle est la distance parcourue par ces mésons dans le référentiel du laboratoire ?

Réponse :

L=v*Δtm
=> Δtm=L/v
Δtm=(100)/(0.9995*c)
Δtm= 3.34*10^(-7)

Mais comment fait-on pour calculer la distance ?? Merci d'avance de votre aide.

Aurore SSI

[SoS(29)]

Bonjour.

a) Dans le référentiel du laboratoire, au bout de combien de temps le nombre de mésons π⁺ d'un paquet est divisé par 2 ? Pendant cette durée, quelle est la distance parcourue par ces mésons dans le référentiel du laboratoire ?

Votre réponse :

L=v*Δtm
=> Δtm=L/v
Δtm=(100)/(0.9995*c)
Δtm= 3.34*10^(-7)

Dans cette réponse vous supposez que la durée de vie dans le ref labo d'un méson lui permet de parcourir 100 m (toujours dans ce mêm référentiel).
Rien dans l'énoncé ne vous permet d'émettre cette hypothèse.
Dans l'énoncé on nous indique :

Le méson π⁺ est une particule instable dont la demi-vie est de t(1/2)=1.80*10^(-8) s.

Qu'est-ce que cela signifie ? Dans quel "référentiel" est mesurée cette durée ?

[Aurore SSI]

t(1/2) est la durée mesuré dans le référentiel de l'accélérateur ?

[SoS(29)]

Non.
Le t(1/2) est une caractéristique du méson donc cette durée est "mesurée" dans le référentiel où le méson est immobile.
Et c'est pour cela que la première question vous demande de calculer cette durée dans le référentiel du laboratoire, par rapport auquel le méson se déplace.

[Aurore SSI]

Voilà ma réponse pour la question (a) ;

Calcul de Δtm :

soit Δtm=γ*Δtp
=> γ= (1/√(1-(v²/c²)) ; Δtm = (1.80*10^(-8))/√(1-((0.9995c)²/3.0*10^(8))²)
Δtm = 5.69*10^(-7) m.s^(-1)

Calcul de L :

L=v*Δtm
L= (5.69*10^(-7))*0.9995c
L=170 m

Est-ce bien cela ?

Aurore SSI

[SoS(29)]

soit Δtm=γ*Δtp

Oui.

Δtm = 5.69*10^(-7) m.s^(-1)

Non. Vous avez du faire une erreur de calcul.
Commencez par déterminer γ : (et garder la notation c pour la vitesse de la lumière, présent au numérateur et au dénominateur il y a simplification.
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { { (0,995c) }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { { (0,995) }^{ 2 } }{ 1 } } } \approx 10,01\)
Ce qui donne pour la durée \({ t }_{ 1/2 }\) (que vous avez notée Δtm) mesurée dans le référentiel du labo \({ t }_{ 1/2 }\approx 1,8\cdot { 10 }^{ -7 }s\)
La distance L dans le référentiel du labo s'écrit bien

L=v*Δtm

Ce qui donne environ 53,7 m.

[Aurore SSI]

Merci de votre réponse.

Pour la question (b), un expérimentateur distrait fait ses calculs en oubliant de faire intervenir la relativité du temps. Quels seraient ses réponses aux questions précédentes ? Comparer les résultats concernant la distance parcourue ?

Je ne saisis pas le principe de relativité du temps. Pourriez-vous m'aider une seconde fois. Merci encore d'avoir répondu aussi vite.

Aurore SSI

[SoS(29)]

Je ne saisis pas le principe de relativité du temps. Pourriez-vous m'aider une seconde fois. Merci encore d'avoir répondu aussi vite.

Dans la question précédente vous avez calculé la durée de demi vie du méson pour l'observateur et vous avez constaté qu'elle est environ 10 fois plus grande. L'écoulement du temps n'est donc pas le même pour le méson "en mouvement" que pour l'observateur "immobile". C'est ce que l'on appelle la relativité du temps.

Si on ne tient pas compte de la relativité du temps ; c'est-à-dire du fait que l'écoulement du temps (la durée) dépend du référentiel dans lequel on se trouve (ce qui n'est évidemment pas intuitif). La durée de demi vie pour l'expérimentateur serait \({ t }_{ 1/2 }\approx 1,8\cdot { 10 }^{ -8 }s\) c'est-à-dire qu'elle aurait la même valeur que celle dans le référentiel lié au méson (référentiel qui se déplace à la vitesse de 0,995c par rapport au référentiel du labo).
Donc la distance serait différente. \(\\ L\approx 5,3\quad m\).

[Aurore SSI]

Bonsoir,

Merci de vos réponse.

Dans la question (d), il faut calculer dans le référentiel du laboratoire et dans celui d'un méson la durée du parcours des particules de la sortie de l'accélérateur jusqu'à la cible.

Il faut simplement ajouter les distances calculés plus 100 m étant la distance entre la cible et l'accélérateur. On connait L et v, il reste à calculer Δtm.

Je me trompe ? Merci pour votre patience à me répondre. C'est pour me rassurer.

Aurore SSI

[SoS(11)]

Bonjour,

Je ne comprends pas votre raisonnement. Il faut calculer N / N0 et pour cela utiliser la relation donnée.
Attention pour les temps il faut prendre les temps correspondant au même référentiel.

A bientôt