Vibrations des tuyaux d'orgues

[Mélanie TermS.]

Bonsoir,

Je bloque à la toute dernière question de mon exercice de Spécialité Physique, merci d'avance pour votre aide.

d. Le célèbre facteur d'orgue français du XIX siècle Aristide Cavaillé-Coll avait proposé pour les tuyaux ouverts une autre relation, purement empirique, faisant apparaître le diamètre D du tuyau au niveau de l'embouchure : \(\frac{n*v}{2(L + 2D)}\). Comment varie la fréquence de la note émise par un tuyau de même longueur mais de diamètre D' supérieur à D ? Exprimer le rapport D'/L en fonction du rapport D/L pour que la note émise soit un demi ton au dessous de la note émise par le tuyau de diamètre D, avec D/L = 0,1.

Bon, je pense avoir réussi la première partie de l'exercice en démontrant que :
Si D' > D, alors \(\frac{n*v}{2(L + 2D')}\) < \(\frac{n*v}{2(L + 2D)}\).

Cependant, la deuxième partie de la question me laisse perplexe : je ne comprends pas ce qu'on me demande. Si je dois représenter D'/L en fonction de D/L, et comme on sait que D' > D et L est constant, alors D'/L > D/L ? Et comme D/L = 0,1, alors D'/L > 0,1 ? Mais alors, quel est le rapport avec la note émise un demi-ton au dessous de la note ?

Merci d'avance.

[SoS(17)]

Bonsoir Mélanie,

Votre réponse concernant la fréquence est correcte.
Ensuite, il est vrai que c'est plus compliqué....
Si la fréquence cherchée est 1/2 ton au-dessous de celle obtenue avec D, alors f(D')=f(D)/\(2^{1/12}\).
Partez de cette égalité, utilisez D'/L = 0,1 (donc faites apparaître D/L=0,1).
N'hésitez pas à revenir....

[Mélanie TermS.]

Bonjour,

Je suis désolée, j'ai peur de ne pas tout comprendre. Je suppose que je dois déduire cette formule : f(D')=f(D)/2^{1/12}, en sachant que D'/L = 0,1, non ? Mais l'énoncé ne nous dit-il pas que c'est D/L = 0,1, et c'est de là où il faut en déduire D'/L ? Oh, je suis désolée, je suis perdue.

Merci pour votre aide.

[SoS(17)]

Bonjour Mélanie,

Il faut effectivement résoudre f(D')=f(D)/2^{1/12} avec D/L = 0,1.
Ne vous affolez pas, il va y avoir des simplifications !
Envoyez-moi vos résultats.

[Mélanie TermS.]

Bonjour,

J'ai remplacé D' par \(D_1\), car le langage informatique utilisé pour écrire des calculs ne semblent pas comprendre le '. Voici ce que j'ai trouvé :

\(f(D_1) = \frac{f(D)}{2^{1/12}}\) <=> \(\frac{n * v}{2(L + 2D_1)} = \frac{\frac{n * v}{2(L + 2D_1)}}{2^{1/12}}\) <=> \(\frac{n * v}{2L + 4D'} = \frac{n * v}{2(L + 2D) * 2^{1/12}}\) <=> \((n * v)(2L + 4D_1) = (n * v)(2(L + 2D) * 2^{1/12})\) <=> \(1 + \frac{2D_1}{L} = (1 + \frac{2D}{L}) * 2^{1/12}\) <=> \(\frac{D_1}{L} = \frac{1,2 * 2^{1/12} - 1}{2} = 13,5 . 10^{-2}\).

Est-ce bien cela ? Dans tous les cas, merci beaucoup pour votre grande aide. =)

Mélanie.

[Sos(22)]

Bonjour Mélanie,

Votre réponse est parfaitement juste, toutes mes félicitations pour votre démonstration.

Sos(22)