Influence du vent sur le lancé d'un projectile

[Rany TS]

Influence du vent sur le lancé d'un projectile

Dans cet exercice,on se propose détudier la nature de la trajectoire suivie par un projectile de masse m=1Kg dans le champs de pesanteur de pesanteur terrestre en presence d'un vent horizontal opposé au mouvement horizontal.Le projectile à un vecteur vitesse initial Vo(vecteur) faisant l'angle A par rapport a l'axe horizontal (ox).
Le champ de pesanteur est considéré uniforme de valeur g=9,81 m.s^-2
Le vent horizontal peu etre modeliser par une force d'expression f(vecteur)=-K.Vx^2.I(vecteur) ou K=0,2(SI) et Vx la composante algebrique selon (ox)du vecteur vitesse,i(vecteur) le vecteur unitaire asssocié au repere d'etude (o,i,j).La force d'Archimede peut etre negligée.
Données: Vo=10 m/s; A=35 degrés.
1.Expliquer un champ de pesanteur uniforme
2-definir le systeme, les expressions vectorielles des forces Poids et force du vent agissant sur le systeme;exprimer la valeur initiale f(o) de la force exercée par le vent en fonction de K,Vo et A et calculer sa valeur en Newton.
3-Par application de la seconde loi de Newton,determiner l'expression des eux composantes ax et ay du vecteur acceleration du centre inertie du systeme ag(vecteur).

4-Etude du mouevement selon (ox)
4-1- montere que la coposante Vx de la vitesse verifie l'equation differentielle:
dVx/dt + K/m .Vx^2 = 0

4-2-Monter que la fonction t -> Vx(t)=A/(1+B.t) ou A et B sont deux constantes est une solution de cette equation si une condition entre A,B,K et m est vérifiée.En respectant de plus la condition initiale exprimer A et B en fonction de K,m,Vo et cos (A) .

4.3 trouver la dimension de B et en deduire une expression pour une constante de temps T associé a cette etude; calculer sa valeur.Exprimer alors Vx(t) en fonction de Vo,cos(A),T et la variable temporelle t.

4.4 par intergration de cette relation,trouver l'equation horraire x(t); on rappele que (InU)'=U'/U

4.5 Donner l'expression de la valeur de la force exercée par le vent f(t) en fonction du temps, en fonction de f(o),T et la variable temporelle t.A t=T que vaut le rapport f(t)/f(o) ?

5-Etude du mouvement selon (oy):
5.1. Determiner l'expression de la composante Vy(t) puis l'equation horraire y(t).
5-2.le sommet de la trajectoire S correspond ou la vitesse verticale Vx est nulle; determiner l'expression de l'instant ts ou le projectile se trouve en S puis calculer sa valeur; de meme avec l'ordonnée de S Ys.
5.3. A partir de Y(t),trouver l'expression de la durée du vol du projectile Dt (durée ecoulée entre t=0s et le moment ou l'impact au niveau du sol);calculer sa valeur.
5.4 en deduire en utilisant la partie 4,l'expression de l'abscisse du point d'impact du projectile avec le sol(portée du lancé dans ces conditions de vent)Xp(vent).Calculer sa valeur et comparer a celle que l'on obitndrai s'il n'y avait pas de vent Xp.

6-Tracé de la trajectoire:
A partir des equations horraires,des données, et des differents renseignements obtenus lors de cette analyse,representer la trajectoire du projectile.Utiliser un tableur avec un pas de temps de 10 ms.

[SoS(30)]

Bonjour Rany, quelle est votre question ?
Pour vous aider, il faudra nous proposer vos réponses. Cordialement.

[rany]

pour la question 4-2- il faut remplacer Vx dans l'equation :dVx/dt + K/m .Vx^2 = 0 par A/(1+B.t) mais comment faire pour la dVx ? est ce qu'on derive A/(1.B.t) ou on remplace dVx par Vo.cosA ?

[SoS(30)]

Il faut remplacer Vx dans l'équation trouvée. L'expression de Vx proposée dépend du temps et vous allez dériver Vx par rapport à t pour trouver l'expression de dVx/dt qui va dépendre de t. En mathématiques : Vx joue le rôle de y et t joue le rôle de x. Je vous laisse continuer.

[rany]

j'ai derivé et j'ai trouver :
d(A/(1+B.t))'= -B.A/(1+B.t)^2
et d(t)=1
Dans la formule :
(-B.A/(1+B.t)^2)+k/m(A/(1+B.t)^2 =0
donc j'ai trouver a la fin : B/A=K/m

Et pour la deuxieme partie de la question :'' avec les conditions initiales ..'' je fai comment pour exprimer A et B en fonction de K,m,Vo, cos(A) ? j'ai penser a remplacer d(Vx) de la formule par V.cos(A) et Vx^2 par (A/(1+B.t)^2
et on trouve apres calcules que : A/(1+B.t)=Racine de ((-Vo.cos(A).m)/K)
C'est juste ?

[SoS(30)]

Votre calcul de dVx/dt est correct mais ne notez pas que dt = 1, ceci est faux (V'x se note dVx/dt)
Votre relation entre A,B,m et k est correcte.
Pour la suite, regardez ce que devient Vx lorsque t = 0s et comparez aux conditions initiales. Bon courage.

[rany]

La deuxieme solution que j'ai trouvé : A/(1+B.t) = Racine de ((-Vo.cos(A).m)/k) est fausse ?
Lorsque t=0s, Vx=Vo.cos(A) . non ?

[SoS(30)]

Avant de continuer, il me semble étrange que l'angle du vecteur vitesse soit noté A (risque de confusion avec A, constante dans l'expression de Vx). Merci de rectifier cette notation. Peut-on appeler cet angle alpha ?

Vous écrivez que à t = 0 s, Vx = Vo.cos(alpha), ceci est juste et dans l'expression Vx = A/(1 + B.t) que vaut Vx pour t = 0s ? Comparez et vous aurez l'expression de la constante A puis celle de B. A tout de suite.

[rany]

Vx= Vo.cos(alpha) et Vx=A/(1+B.t) donc A/(1+B.t) = Vo.cos(alpha)
donc A = (Vo.cos(alpha)).(1+B.t)
C'est ca ?

[SoS(30)]

Oui c'est cela mais si t= 0s, on obtient A = Vo . cos(alpha) !!! Remplacez t pat la valeur nulle. Avez-vous compris ? Je vous laisse continuer.

[rany]

oui j'ai compris :D
donc A=cos(alpha) or B/A = K/m
donc B=( k/m) .Vo.cos(alpha)
pour la question 4.3- j'ai pas compris comment trouver une dimension de B et on a trouvé en cours (pour un autre exercice ) que T=k/m est ce que c'est aussi valable pour cet exercice ?

[rany]

je rectifie : T=m/k

[SoS(30)]

Très bien pour A et B.
Pour trouver l'unité de B, il vous faut faire une analyse dimensionnelle. Puisque B = Vo.cos(alpha).K/m, vous pouvez trouver l'unité de B. N'oubliez pas que f = K.Vx^2 (norme du vecteur de la force de frottement). A vous de continuer.

[rany]

( ) voudra dire unité.

F=-k.Vx^2 donc k=-F/Vx^2
(k)=-(F)/(Vx^2)
(k)=-N/(m.s^-1)^2
et B=Vo.cos(alpha).K/m
(B)=m.s^-1.N/(m.s^-1)^2
donc l'unité de (B) = N/(kg.m.s^-1)
or N=Kg.m.s^-2 donc l'unité de B est s^-1

[SoS(30)]

Très bien !!! On peut même faire plus simple en remarquant que Vx = A / (1 + B.t) = Vox.cos(alpha)/ (1 + B.t) puisque Vox.cos(alpha) a l'unité d'une vitesse, B.t n'a pas d'unité donc comme t est en s alors B est en s-1. A vous de continuer.