bonjour
J'ai un gros souci avec un problème tiré d'un ancien examen auquel je me prépare actuellement ( et dont je n'ai hélas pas la correction).
voici l'énoncé tel quel:
Un skieur (assimilable à un point) part de A et dévale la pente de la figure ci-dessous. Le creux et la bosse sont des arcs de cercle de rayon R1 et R2 . On néglige tout frottement.
a) Calculer la force exercée par le sol au point B
b) Est ce que le skieur revient en arrière sans passer la bosse ou est ce qu'il passe la bosse?
c) Est ce qu'il décolle, et si oui où?
Application numérique: m = 80kg. H = 5,2m. h = 4m. R1 = 3m. R2 = 2m. \(\theta\) = 53 degré
Dans un premier temps j'aimerais savoir si pour le a) je ne suis pas complètement à coté de la solution.
j'arrive au résultat suivant:
* l'accélération tangentielle en B ne joue aucun rôle puisque perpendiculaire à mg (d'ailleurs je ne vois pas comment l'évaluer, comment faut il s'y prendre pour dériver la vitesse tangentielle ? )
* la force exercée par le sol , nommons là \(Fn\) , est résultante de la force normale gravitationnelle \(mg\), et de la force centripète \(ma_r\) ( \(a_r\) = accélération centripète)
alors \(Fn = mg + ma_r= m( g + \frac{V_B^2}{R1})\)
et ( conservation de l'énergie en l'absence de frottement) \(V_B^2=2gH\)
donc la force exercée par le sol au point B est \(Fn = \frac{mg(R1+2H)}{R1}\) = 3500 N
ça me plait pas tellement comme démarche mais j'ai beau creuser je ne trouve rien de mieux.
Pourrait-t-on (ou devrait-t-on...) utiliser ici les expressions liées à la vitesse et l'accélération angulaire ?
pour le b) et le c) je ne suis pas du tout sur de moi, mais peut être que si je comprend mieux le a) ça deviendra plus claire...
merci pour votre aide
force et mouvement circulaire
Modérateur : moderateur
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Invité
force et mouvement circulaire
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Re: force et mouvement circulaire
Bonsoir
Il n'y a aucun problème dans votre démarche, ni sur le fond, ni sur la forme. Votre réponse est très juste. Concernant l'accélération tangentielle au point B, elle est nulle puisque les force de frottement étant négligées, aucune force n'a de composantes horizontale.
Donc vous pouvez continuer l'exercice dans la plus grande sérénité.
Pour les questions b) et c), n'hésitez pas à me faire part de vos réponses. Bon courage d'ici là.
Il n'y a aucun problème dans votre démarche, ni sur le fond, ni sur la forme. Votre réponse est très juste. Concernant l'accélération tangentielle au point B, elle est nulle puisque les force de frottement étant négligées, aucune force n'a de composantes horizontale.
Donc vous pouvez continuer l'exercice dans la plus grande sérénité.
Pour les questions b) et c), n'hésitez pas à me faire part de vos réponses. Bon courage d'ici là.
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Invité
Re: force et mouvement circulaire
bonjour
Merci pour cette aide précieuse, l'air de rien cette force centripète me donne vraiment du fil à retordre.
voici la résolution que j'ai trouvé pour le reste du problème et je suis très curieux de savoir si c'est juste...
j'inverse les questions b) et c) car il me semble qu'on ne peux répondre à b) sans avoir résolu c)
donc voici ma réponse pour c) Est ce qu'il décolle, et si oui où?
* soit C, le point ou se raccordent le creux et la bosse
* soit D, le point situé au sommet de la bosse
* soit \(\alpha\), l'angle formé par l'horizontale et la tangente à la courbe, en tout point de la piste.
par définition le skieur quittera la surface de la piste lorsque la force normale exercée par le sol sur le skieur sera nulle: \(Fn=0\)
de B à C
on a\(Fn=mgcos\alpha+ma_r\), il faudrait donc \(mgcos\alpha+ma_r=0\) pour voir le skieur décoller,donc \(cos\alpha=-\frac{v^2}{gR_1}\)
de plus par conservation de l'énergie on trouve \(mgH=\frac{1}{2}mv^2+mgR_1(1-cos\alpha)\) se qui implique \(v^2=2g(H-R_1(1-cos\alpha))\)
alors, en égalisant les deux, on devrait avoir \(cos\alpha=\frac{2(R_1-H)}{3R_1}\)mais puisque \(cos\alpha<0\) implique \(\alpha>90^{\circ}\), ce qui ne survient pas entre B et C, le skieur ne quitte pas la piste avant C.
de C à D (c'est là que ça se corse)
selon ma compréhension l'expression de \(Fn\) change a partir du point C et devient \(Fn+ma_r=mgcos\alpha\) il faudrait donc \(ma_r=mgcos\alpha\) pour voir le skieur décoller, par le même raisonnement que plus haut on cherche, \(cos\alpha=\frac{v^2}{gR_2}\) avec \(v^2=2g(H-R_2cos\alpha)\)
""en considérant que B et le centre de la bosse sont à la même hauteure, ce qui semble être la cas en évaluant numériquement l'égalité \(R_1(1-cos53^{\circ})=R_2cos53^{\circ}=H-h\)""
On cherche donc \(gR_2cos\alpha=2g(H-R_2cos\alpha)\) alors \(cos\alpha=\frac{2H}{3R_2}\) or donc le skieur n'a pas une vitesse suffisante pour décoller puisque \(\alpha=arccos(\frac{2H}{3R_2})\) n'existe pas pour H=5,2m et R2=2m.
maintenant pour b) Est ce que le skieur revient en arrière sans passer la bosse ou est ce qu'il passe la bosse?
Sachant que le skieur ne quitte pas la piste entre A et D
La force de gravitation étant une force conservative et en l'absence de frottement l'énergie totale étant conservée le skieur aura toujours une énergie cinétique arrivé en D (BA>BD).
De plus puisque l'angle entre la tangente à la courbe et l'horizontale est <90 degré en tout point du parcours alors le skieur aura toujours une composante de vitesse horizontale orientée "vers la droite de la figure" entre les points A et D.
Donc il passera la bosse.
voilà, j'éspère juste que c'est pas tout faux...
Merci pour cette aide précieuse, l'air de rien cette force centripète me donne vraiment du fil à retordre.
voici la résolution que j'ai trouvé pour le reste du problème et je suis très curieux de savoir si c'est juste...
j'inverse les questions b) et c) car il me semble qu'on ne peux répondre à b) sans avoir résolu c)
donc voici ma réponse pour c) Est ce qu'il décolle, et si oui où?
* soit C, le point ou se raccordent le creux et la bosse
* soit D, le point situé au sommet de la bosse
* soit \(\alpha\), l'angle formé par l'horizontale et la tangente à la courbe, en tout point de la piste.
par définition le skieur quittera la surface de la piste lorsque la force normale exercée par le sol sur le skieur sera nulle: \(Fn=0\)
de B à C
on a\(Fn=mgcos\alpha+ma_r\), il faudrait donc \(mgcos\alpha+ma_r=0\) pour voir le skieur décoller,donc \(cos\alpha=-\frac{v^2}{gR_1}\)
de plus par conservation de l'énergie on trouve \(mgH=\frac{1}{2}mv^2+mgR_1(1-cos\alpha)\) se qui implique \(v^2=2g(H-R_1(1-cos\alpha))\)
alors, en égalisant les deux, on devrait avoir \(cos\alpha=\frac{2(R_1-H)}{3R_1}\)mais puisque \(cos\alpha<0\) implique \(\alpha>90^{\circ}\), ce qui ne survient pas entre B et C, le skieur ne quitte pas la piste avant C.
de C à D (c'est là que ça se corse)
selon ma compréhension l'expression de \(Fn\) change a partir du point C et devient \(Fn+ma_r=mgcos\alpha\) il faudrait donc \(ma_r=mgcos\alpha\) pour voir le skieur décoller, par le même raisonnement que plus haut on cherche, \(cos\alpha=\frac{v^2}{gR_2}\) avec \(v^2=2g(H-R_2cos\alpha)\)
""en considérant que B et le centre de la bosse sont à la même hauteure, ce qui semble être la cas en évaluant numériquement l'égalité \(R_1(1-cos53^{\circ})=R_2cos53^{\circ}=H-h\)""
On cherche donc \(gR_2cos\alpha=2g(H-R_2cos\alpha)\) alors \(cos\alpha=\frac{2H}{3R_2}\) or donc le skieur n'a pas une vitesse suffisante pour décoller puisque \(\alpha=arccos(\frac{2H}{3R_2})\) n'existe pas pour H=5,2m et R2=2m.
maintenant pour b) Est ce que le skieur revient en arrière sans passer la bosse ou est ce qu'il passe la bosse?
Sachant que le skieur ne quitte pas la piste entre A et D
La force de gravitation étant une force conservative et en l'absence de frottement l'énergie totale étant conservée le skieur aura toujours une énergie cinétique arrivé en D (BA>BD).
De plus puisque l'angle entre la tangente à la courbe et l'horizontale est <90 degré en tout point du parcours alors le skieur aura toujours une composante de vitesse horizontale orientée "vers la droite de la figure" entre les points A et D.
Donc il passera la bosse.
voilà, j'éspère juste que c'est pas tout faux...
Re: force et mouvement circulaire
On peut répondre à la question b) avant la c). Il faut pour cela raisonner à l'aide du théorème de l'énergie cinétique, ou alors appliquer la conservation de l'énergie mécanique. On connait la vitesse en B, quelle sera la vitesse au sommet de la deuxième bosse ?
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Invité
Re: force et mouvement circulaire
A mon habitude je coupe les cheveux en quatre, j'ai pensé qu'il fallait définir si le skieur quitte la piste pour répondre "quantitativement" à la question mais en effet ça n'a aucune importance pour autant que l'angle formé entre l'horizontale et la tangente en tout point du parcours n'atteint pas 90 degré.
La force de gravitation étant une force conservative et en l'absence de frottement l'énergie totale étant conservée le skieur aura toujours une énergie cinétique arrivé à la hauteur du sommet de la bosse puisque H>R2.
De plus puisque l'angle entre la tangente à la courbe et l'horizontale est <90 degré en tout point du parcours alors le skieur aura toujours une composante de vitesse horizontale orientée "vers la droite de la figure" entre les points A et D.
Donc il passera la bosse.
Je me rend compte également que ma conclusion pour le problème c) est fausse (si ce n'est la résolution elle même), je corrige:
....
On cherche donc \(gR_2cos\alpha=2g(H-R_2cos\alpha)\) alors \(cos\alpha=\frac{2H}{3R_2}\) or donc le skieur quittera la piste au point de raccord C entre les deux courbes
puisque \(\alpha=arccos(\frac{2H}{3R_2})\) n'existe pas pour H=5,2m et R2=2m. Sa vitesse à cette date sera \(v=\sqrt{2g(H-R_2cos\theta)}\) =8.5m/s formant un angle de 53 degré avec le sol.
La force de gravitation étant une force conservative et en l'absence de frottement l'énergie totale étant conservée le skieur aura toujours une énergie cinétique arrivé à la hauteur du sommet de la bosse puisque H>R2.
De plus puisque l'angle entre la tangente à la courbe et l'horizontale est <90 degré en tout point du parcours alors le skieur aura toujours une composante de vitesse horizontale orientée "vers la droite de la figure" entre les points A et D.
Donc il passera la bosse.
Je me rend compte également que ma conclusion pour le problème c) est fausse (si ce n'est la résolution elle même), je corrige:
....
On cherche donc \(gR_2cos\alpha=2g(H-R_2cos\alpha)\) alors \(cos\alpha=\frac{2H}{3R_2}\) or donc le skieur quittera la piste au point de raccord C entre les deux courbes
puisque \(\alpha=arccos(\frac{2H}{3R_2})\) n'existe pas pour H=5,2m et R2=2m. Sa vitesse à cette date sera \(v=\sqrt{2g(H-R_2cos\theta)}\) =8.5m/s formant un angle de 53 degré avec le sol.
Re: force et mouvement circulaire
Félicitation. Tout est juste. Je dois même dire que tu as un très bon niveau. Continue comme cela, et n'hésite pas, en cas de doute, à venir de nouveau sur le forum. Bonne continuation.