DM: calculer la taille de la rétine en fonction de alpha et

[Jules, 1ère S]

Bonjour,
Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider sur cette question de mon DM de physique :
"L'oeil a le même angle de vision qu'un objectif standard, mais sa distance focale est de 15 mm. Calculer la taille de la rétine, supposée circulaire, qui joue le rôle d'écran. "

Étant donné que dans la question précédente il était posé de trouver l'angle de prise de vue (j'imagine compris comme angle de vision) alpha d'un capteur rectangulaire de 24×36mm. Par calcul j'ai trouvé 47° environ. Grâce à la formule :
alpha= 2×Arctan(d/2×f')

J'ai donc entrepris de résoudre l'égalité :
2×Arctan(d/2×15)=47
Ce qui m'a donné d=12,9 mm

Et c'est là qu'est le problème car pour la diagonale d du capteur rectangulaire (par les sommets duquel passe le cercle du globe oculaire) je trouve la même valeur que pour la largeur de ce capteur.

Je comptais ensuite utiliser cette formule:
Longueur_arc de cercle = 2×pi×r×angle/360

Mais comme les valeurs ne sont pas cohérentes je n'ai pas pu continuer.

Donc si vous pouviez m'aider.

Merci d'avance.

[SoS(43)]

Bonsoir Jules,
Avant de pouvoir vous aider, j'aurai besoin de quelques précisions sur les notations que vous employez et de quelques valeurs pour vérifier l'exactitude de vos calculs. Dans votre calcul de alpha ( alpha= 2×Arctan(d/2×f') ), qu'appelez-vous d ? Quelles valeurs avez vous pris pour d et f' ? Je suppose que d est la diagonale du capteur (d = 43,3 mm et f' = 50 mm). Si c'est bien le cas alors votre valeur d'alpha est correcte. Pouvez-vous confirmer ?
Le calcul suivant de d semble correct (d = 13,0 mm avec un calcul direct sans arrondi intermédiaire)

Je ne comprend pas cette remarque :
"Et c'est là qu'est le problème car pour la diagonale d du capteur rectangulaire (par les sommets duquel passe le cercle du globe oculaire) je trouve la même valeur que pour la largeur de ce capteur."
Vous avez un capteur rectangulaire 24 mm x 36 mm et vous avez trouvé une diagonale de 43 mm (d'après votre calcul de alpha). Quel est le problème exactement ?

Pour la suite, je ne sais pas à quelle question vous devez répondre donc je ne peux pas vous aidez davantage. Le mieux serait que vous me donniez l'énoncé complet de votre DM.
Merci de m'éclairer.

[Jules 1ereS]

Merci de votre réponse. Et voici mon sujet s'il est bien envoyé.

[Jules]

Oui j'avais oublié de remarquer que d représente la diagonale du capteur rectangulaire et aussi le diametre du cercle du globe oculaire.Voici ci-joint un schéma pour illustrer mon propos.

[SoS(43)]

Bien, donc la valeur de d que vous avez calculé correspond au diamètre de la partie utile de la rétine (puisque c'est la longueur de la diagonale d'un rectangle inscrit dans ce cercle).
Que proposez-vous pour la question 3 ?

[Jules]

Donc si l'on suit mon schéma que j'ai envoyé plus tôt, je comptais trouver la valeur de l'angle Betâ (en bleue sur le schéma) puis utiliser la formule qui suit : 2×pi×r×Betâ/360

Mais j'ai eu une incohérence dans mes valeurs car pour AD j'ai trouver la même valeur que la diagonale (et diametre) d.
Ce qui est impossible bien sûr sinon ce ne serait plus un rectangle. Et c'est là qu'est mon problème je ne comprend pas pourquoi je trouve les mêmes valeurs.
Mais peut être que je m'y dis mal pris et que ce n'était pas la direction à suivre pour cet exercice, donc si vous pouviez m'aider ce serait super.

[SoS(43)]

Je ne sais pas exactement ce que vous appelez "cercle du globe oculaire". Le diamètre d calculé est le diamètre de la tache circulaire qui se forme au fond de l'oeil sur la rétine. Le globe oculaire est une sphère dont le diamètre est supérieur à cette valeur.

[Jules]

Oui mais je ne comprends pas vraiment ça justement comment la valeur d'un segment d, appelé diamètre, peut il être circulaire ce que l'on a calculer n'est qu'une corde de ce cercle non ?

[SoS(43)]

Je ne pense pas que l'on vous demande de déterminer le diamètre du globe oculaire... Par taille de la rétine, je suppose qu'on vous demande juste la taille de la tache qui se forme au fond de l'oeil. Pour pouvoir voir la totalité de l'image avec un angle de 47°, il faut évidemment que cette tache soit sur la rétine et donc que la rétine ait (au moins) la taille de cette tache. Si on suppose que c'est la taille de la rétine qui limite la taille de l'image alors la valeur trouvée correspond exactement à la taille de la rétine (partie sensible), le reste de l'intérieur de l'oeil ne comportant pas dans ce cas de cellules sensibles à la lumière.

[Jules]

Ah d'accord donc la valeur de d précédemment calculé est égale à la taille de la rétine si j'ai bien compris donc la question ne portait que sur la résolution de l'égalité lié à alpha et d.
Eh bien je pensais qu'il fallait aller plus loin. Merci de votre explication.
Et pour ce qui est du 3) faut il exécuter la même démarche ? Et calculer d ou bien est il question de trouver la largeur du capteur rectangulaire qui représentera alors l'image ?

[SoS(43)]

Ce que l'on sait, c'est que l'oeil "voit" les rayons qui y entre sous un angle inférieur à 23,5° (la moitié de 47°). Lorsque ces rayons arrivent sur le fond de l'oeil, ils y forment une tache circulaire de diamètre 13 mm. Comme l'oeil "voit" tous ces rayons, il faut donc qu'il y ait des cellules sensibles à la lumière sur cette partie de l'oeil. Je pense que vous vous compliquer la vie, l'oeil possède une symétrie de révolution et il n'y a pas de rectangle ou de diagonale pour l'oeil. Vous avez donc répondu à la question 2 en calculant d.

[SoS(43)]

Non, la démarche est différente. Sous quel angle voit-on un objet mesurant 10 m et situé à 100 m ? En répondant à cette question, vous saurez sous quel angle entrent les rayons dans l'oeil et pourrez calculer la taille de l'image en fonction de la distance focale. Notez que l'angle est toujours le même : il ne dépend que de la taille de l'objet et de sa distance.

[SoS(43)]

Si vous avez vu la relation de conjugaison, vous pouvez également répondre à la question 3 en l'utilisant mais les résultats seront peut-être légèrement différents car il n'y aura plus l'approximation que l'objet est à l'infini.

[Jules]

J'allais justement proposer d'utiliser relation de conjugaison et de grandissement mais je ne vois pas l'autre manière de faire. Est ce que l'image A'B' de AB est égale à la largeur du capteur rectangulaire?

[SoS(43)]

Si vous voulez utiliser la relation de conjugaison, je vous conseille de faire le schéma habituel : placer l'objet AB et construire son image A'B'. Dans le cas où l'objet est très loin (considéré à l'infini), on peut admettre que l'image est dans le plan focal image. Repérer l'angle sous lequel est vu cet objet depuis le centre de la lentille, vous verrez sur le schéma que l'on retrouve le même angle du coté de l'image. Vous obtiendrez ainsi un relation simple entre cet angle, la distance focale et la taille de l'image.