Solution de l'equation differentielle de la bobine

[Lucie TS]

Bonjour,

J ai un soucis pour etablir la solution de la rupture du courant dans le dipole RL.

je trouve bien l'equation de la rupture du courant dans la bobine qui est : 0= RI +L(di/dt) +rI.

lorsque je cherche la solution pour avoir une forme mathématique telle Kexp(-t/to) -b/a, cela m'amene à : di/dt = (- Rtotale )/ L * I/L avec
b étant (-RTOTALE /L ) et a = 1/L.

j'arrive donc a : k exp(-t-L ) +Rtotale

je sais que i a to = E/RTOTALE mais je suis bloquèe !!

merci de m'aider !!

[SoS(9)]

Bonjour Lucie, vous commettez plusieurs erreurs dans votre raisonnement ou calcul. Tout d'abord, comme l'équation différentielle a un second membre nul, il est inutile de chercher une solution avec la constante -b/a. La solution à l'équation différentielle est alors de la forme: i(t)=Kexp(-t/tau). Vous exprimerez la grandeur tau en fonction des données.
Commencez donc par effectuer la dérivée de la fonction i(t) proposée, nous verrons la suite du calcul ensemble

[Lucie TS]

euh ...
derivée de i = -a/ tau ?

[SoS(9)]

Non Lucie, la dérivée par rapport au temps de la fonction i(t)=Kexp(-t/tau) (je vous demande donc d'exprimer di/dt)

[Lucie TS]

d'après l'equation de depart qui est 0= RI +L(di/dt) +rI.

di/dt= - R totale * I /L.

Où cela va t-il nous mener ?

[SoS(9)]

Je ne vous demande pas d'utiliser pour l'instant l'équation différentielle, mais simplement de dériver par rapport au temps la fonction i(t)=Kexp(-t/tau). Pouvez effectuer ce calcul?

[lucie ts]

(i (t) )' = di/dt = -A/tau exp( -t/tau )

sinon, je ne sais pas du tout ..

[SoS(9)]

Oui, c'est bien cela. Maintenant, appliquez l'expression de i(t) et di/dt à l'équation (R+r)i+Ldi/dt. Quelle expression obtenez vous?

[lucie ts]

j obtiens en replacant:

rtotale * kexp( -t/tau) +L *(-a/ tau ) exp(-t/tau )

on factorise: exp( -t / tau ) '(-aL /tau +KR )

c'est bizarre .. qu'est ce que ça doit donner ?

[SoS(9)]

Attention à la constante. Soit vous écrivez i(t)=Aexp(-t/tau) soit vous prenez i(t)=Kexp(-t/tau).
Prenons par exemple i(t)=Aexp(-t/tau). En remplaçant dans l'expression Ldi/dt + (R+r)i on obtient (en factorisant comme vous l'avez dit): Aexp(-t/tau)(Rtot-L/tau)
Êtes vous d'accord avec moi?

[Lucie ts]

Oui, je suis d'accord, merci.

mais quelle est donc la solution finale ? c'est celle ci ?

[SoS(9)]

Vous voulez donc que la fonction i(t) proposée soit solution de l'équation différentielle, il faut donc que i(t) vérifie l'équation soit Aexp(-t/tau)(Rtot-L/tau)=0, et ceci quelle que soit la date t. Utilisez maintenant la règle suivante: pour qu'un produit de deux facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des deux facteurs le soit. Que pouvez vous en déduire?

[LUCIE TS]

que (Rtot-L/tau)=0

donc A= E/rtotale

ET la solution est i = E/rtotale exp( -t/tau )

c'est ca ?

MERCI.

[SoS(9)]

Exploitons l'équation que vous avez trouvée: (Rtot-L/tau)=0. cette équation vous permet de déterminer la constante de temps tau du circuit: tau=?
Ensuite, il vous faut effectivement déterminer l'expression de A. Ceci est fait grâce à la continuité de l'intensité dans la bobine. Que vaut i lorsqu'on ouvre l'interrupteur?

[lucie ts]

a tau=0
on dit, or i =0 donc a= e/r

donc au final, i= E/rtotale exp( -t/tau )

enfin, je sais pas ..