Charge d'un condensateur

[Lisa TS]

Bonjour,

Voici l'énoncé d'un exercice sur les condensateurs :

Un générateur de courant variable est obtenu en associant un générateur de fonction à un montage électronique. Il permet d'imposer l'intensité du courant traversant un circuit.
Un condensateur de capacité C= 220 nF, initialement déchargé, est connecté à l'instant t=0 à un générateur de courant fournissant une intensité i=25,0 t (mA).

1) Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit la tension u aux bornes du condensateur.
2) Résoudre cette équation différentielle en considérant que le condensateur n'est pas chargé à la date t = 0.
3) Quelle est la valeur de la tension u à la date t = 1,25 mS ?

Je n'arrive pas à faire la 1e question, parce que la seule équation différentielle qu'on ait vue est celle de la charge ou de la décharge d'un dipôle RC :
RC dUc/dt + Uc = Ug (charge) ou 0 (décharge)
Mais dans cet exercice, ils ne parlent pas de résistance, donc je ne vois pas quelle équation différentielle je peux faire.
Je sais que dUc/dt = ic/C , mais ce n'est pas une équation différentielle, puisqu'il n'y a pas Uc ...

Merci d'avance pour votre aide.

[SoS(15)]

Bonjour Lisa,

Lorsque vous écrivez :

dUc/dt = ic/C , mais ce n'est pas une équation différentielle, puisqu'il n'y a pas Uc

, il apparaît quand même le terme en dUc/dt !
Vous êtes dans un cas où l'équation différentielle ne fait pas apparaître le terme d'ordre 0 (en Uc) mais juste le premier ordre en (dUc/dt).
La résolution est "enfantine", vous n'avez qu'à penser au mathématique lorsque y ' = a ; que vaut y(x) ? le terme en ic/C jouant le rôle de "a".

Sos(15)

[Lisa TS]

Si y'(x) = a , alors y(x) = ax . Mais ici, si a c'est ic/C, l'équation serait plutôt de la forme y'(x) = ax puisque ic = 25 t. Et donc la solution serait de la forme y(x) = axx/2 . Donc Uc(t) = 25 tt / 2C.
Mais le problème c'est qu'ils demandent de résoudre l'équation "en considérant que le condensateur n'est pas chargé à la date t = 0". Et là je ne m'en sers pas...

[SoS(15)]

Lisa,

Vous avez presque raison lorsque vous écrivez

y(x) = axx/2

et donc

Uc(t) = 25 tt / 2C

Je vous rappelle que dans le processus de recherche d'une primitive de la fonction "ax" vous n'obtenez toujours qu' UNE solution définie à une constante près !!
Et une fois cette constante déterminée (avec les conditions initiales), vous obtenez LA solution au problème posé.
Ce qui devrait vous éclairer sur pourquoi votre énoncé vous parle de la charge du condensateur à t = 0.

Sos(15)

[Lisa TS]

Mais justement, je ne vois pas, dans Uc(t) = 25 tt / 2C, quelle est la constante à déterminer avec les conditions initiales, puisqu'on connaît déjà le rapport 25/2C.
Donc si je remplace t par 0 dans l'expression, ça me prouve seulement que Uc(0) = 0, mais je n'obtiens pas de solution unique...

[SoS(15)]

Lisa,

Vous allez juste un peu trop vite.

Je prends un exemple en maths pour vous laisser faire la transposition à la physique ensuite.

SI y ' = ax + b (a et b connus) ALORS UNE solution est y = (1/2)ax² + bx + c !

puis si l'énoncé me donne y(0) = 0 alors j'en déduis c = 0 d'où LA solution serait y = (1/2)ax² + bx

mais si l'énoncé m'avait donné y(0) = 0,5 alors c = 0,5 ... alors LA solution serait y = (1/2)ax² + bx + 0,5

etc ... ça dépend de ce que me donne l'énoncé.

En plus en physique (et en chimie) il ne faut pas oublier les unités des grandeurs.

Avez-vous compris ?

Sos(15)

[Lisa TS]

Ah j'ai compris ! C'est vrai, j'avais oublié que si on a y' = ax, la solution n'est pas forcément y = ax²/2 , il peut y avoir + quelque chose.
J'avais pas réalisé qu'en fait en disant cela, j'utilisais déjà le fait que Uc(0) = 0, et donc que le + quelque chose c'est + 0.
Merci beaucoup pour votre aide ! C'était très clair.