Optique: Mesure distance focale lentille convergente

[Emeline. 1ère S]

Bonjour à tous!
Je bloque un peu avec un exercice, et j'aurais besoin de votre aide et de petit conseil pour résoudre cet exercice..


Soit une lentille convergente L, de centre optique O et de distance focale f'. L'axe otpique de la lentille est noté X'OX. On considère un objet AB placé dans un plan frontal d'abscisse x (x<0), A se trouvant sur l'axe optique. Soit A'B' son image d'abscisse x'. La position de l'objet est choisie pour qu'il soit possible d'observer son image sur un écran.
Soit D la distance entre l'objet et l'écran, c'est à dire la distance AA'. D est une grandeur positive.

1°) Montrer que D = x' - x. Rappeler la formule de conjugaison d'une lentille.
Je ne vois pas comment faire pout la démonstration! On sait que D = AA' mais comment arriver à x' - x ? Pour la formule de conjugaison d'une lentille, c'est 1/(OA') - 1/(OA) = 1/f'
2°) Ecrire l'équation du second degré permettant de calculer x' en fonction de D et f' Là encore une fois, je ne vois pas du tout..
3°) a) Résoudre cette équation: montrer qu'elle n'admet de solutions que si D > ou = 4 f'. Donner alors les deux solutions de l'équation x'1 et x'2 Cela ne me semble pas difficile, mais n'aillant pas trouvée l'équation de la question précédente, c'est assez difficile à résoudre du coup..
b) En déduire qu'il existe deux positions de la lentille permettant d'obtenir l'image A'B' de AB sur l'écran.
4°) Calculer la distance d entre ces deux positions, et en déduire la formule de Bessel : f' = (D² - d²) / 4D
5°) Conclure en proposant un protocole expérimental permettant de mesurer la distance focale d'une lentille convergente (méthode dite de Bessel)
6°) Lors d'une expérience, on a mesuré D = 80,0 cm d = 32,5 cm. Calculer f'

J'attend vos réponse, afin de m'éclaircir un peu sur l'exercice, sans bien sûr le faire à ma place! Je voudrais avant tout comprendre..
Merci d'avance, Emeline.

[Sos(22)]

Bonjour Emeline,

La première question est pourtant très simple : il suffit de voir que, d'après l'énoncé AO = -x et OA' = x', le reste me semble évident puisque D = AA'.

La deuxième est plus subtile puisqu'il faut d'abord utiliser la relation de conjugaison en remplaçant OA et OA' par x et x' avant de remplacer x dans l'expression obtenue par x+D (d'après la première question). Il reste alors à modifier l'équation obtenue pour obtenir une équation du second degré où l'inconnue est x'.

Le reste n'est qu'une question de mathématiques !

J'attends vos réponses : bon courage.

Sos(22)

[Emeline. 1ère S]

Donc ...
1°) D = AA' = AO + OA'
D = -OA + OA'
D = x' - x
Ainsi, la formule de conjugaison d'une lentille est 1/x' - 1/x = 1/f'

Mais pour la question 2°), je bloque encore..
Grâce à la formule de conjugaison on sait que x = D - x'
Mais je bloque ici ...

[SoS(23)]

Bonjour Emeline
Vous devez remplacer l'expression de x que vous avez trouvé dans l'expression de conjugaison de la lentille.

[Emeline. 1ère S]

Donc..

2°) 1/x' - 1/x = 1/f'
Soit 1/x' - 1/D-x' = 1/f'
(D-x')/x'(D-x') - x'/x'(D-x') = 1/f'
(D-2x')/x'(D-x') = 1/f'
f'(D-2x') = x'(D-x')
f'D - 2f'x' = Dx' - x'²
x'² - (D+2f')x' + Df' = 0

Pour la 3°) on calcul le discriminant.
D'où Delta = b² - 4ac
Soit ici ; Delta = (D+2f')² - 4*1*Df' = D² + 4Df' + f'² - 4Df' = D² + f²
? ... Mais Je suis bloquée là..

[SoS(23)]

Bonsoir Emeline
Vous avez ecrit que D=x'-x ce qui donne x=x'-D il faut reprendre le calcul precedent . Bon courage

[Emeline. 1ère S]

Désolé, je me suis trompée... D = x' - x ==> x = x' - D pas D - x'
2°) x' - 1/x = 1/f'
Soit 1/x' - 1/x'-D = 1/f'
(x'-D)/x'(x'-D) - x'/x'(x'-D) = 1/f'
(-D)/x'(x'-D) = 1/f'
f'(-D) = x'(x'-D)
-Df' = x'² - Dx'
x'² - Dx' + Df' = 0

3°) a) Delta = D² - 4Df' = D(D-4f')
D > 0 donc Delta > 0 si D-4f' > 0 soit D > 4f'
x'1 = (D - [racine carrée de D² - 4Df'])/2
x'2 = (D + [racine carrée de D² - 4Df'])/2

b) |x'| est la distance entre l'écran et la lentille. Si l'écran et l'objet sont fixes (D est constante), on a donc 2 distances |x'1| et |x'2| entre l'écran et la lentille qui permettent d'avoir une image nette.

4°) d = x'2 - x'1 = (D + [racine carrée de D² - 4Df'])/2 - (D - [racine carrée de D² - 4Df'])/2
= [racine carrée de D² - 4Df']
d² = D² - 4Df'
4Df' = D² - d²
donc f' = (D² - d²)/4D

[SoS(23)]

Bravo les calculs sont corrects si vous avez de nouveau un probléme revenez sur le forum.

[Emeline. 1ère S]

Voici ce que je propose pour la 5°), mais je ne suis pas sûr..
Il suffit de positionner l'objet et l'écran à une certaine distance D (arbitraire parce qu'on ne connaît pas f' et on doit avoir D > 4f'). On cherche deux positions de la lentille pour avoir une image nette. Si on ne les trouve pas, on augmente la distance et on recommence. Ensuite, on mesure la distance d entre les deux positions et la distance D entre l'objet et l'écran puis on applique la formule.

[SoS(23)]

Voila c'est cela vous pouvez aller regarder une video sur la méthode de Bessel je vous donne l'adresse du site :http://fr.video.yahoo.com/watch/616786/2931043 .

[Emeline. 1ère S]

Ainsi, si je ne me trompe pas pour la 6°) en utilisant la formule démontrée dans la 4°), on trouve f' = 16,7 cm ? :D

[SoS(13)]

Bonjour Emeline,
vous ne vous êtes pas trompée dans votre application numérique.
N'hésitez pas à nous recontacter au besoin.