Bonjour !
En ce moment nous étudions les principes de la mécanique et je suis un peu perdue... Dans un exercice résolu, nous devons étudier la force appliquée par un objet à son support.
Tout d'abord, ils commencent à résoudre l'exercice en estimant l'accélération moyenne de l'objet pendant le rebond (il s'agit d'une balle qui tombe au sol), dans le référentiel du support qui est Galiléen, et procèdent de la manière suivante :
vecteur a = (vitessefinale-vitesseintiale)/temps, = (v0xvecteur uz - (-v0xvecteur uz))/temps, ce qui équivaut à : 2v0/t x le vecteur uz
Mais à quoi correspond le vecteur uz ? On en parle souvent, ainsi que du vecteur uDelta et même uN, et je ne comprend pas ce que c'est...
Merci d'avance de votre réponse !
Principes de la mécanique
Modérateur : moderateur
Re: Principes de la mécanique
Un vecteur est objet abstrait qui n'est pas représentable par un ou plusieurs nombres, il faut l'exprimer en fonction d'un ou plusieurs autres vecteurs.
Souvent on le représente donc en utilisant un ou plusieurs vecteurs commodes car simples à définir. Ces derniers, lorsqu'ils permettent de représenter tous les vecteurs possibles d'un espace sont dits "formant une base" de représentation vectorielle. L'idéal étant de les choisir de façon à ce qu'ils soient de longueur unité et orthogonaux. Ils forment alors une base de représentation des vecteurs dite "orthonormale". Ainsi, en les multipliant convenablement et en additionnant ces vecteurs convenablement multipliés, ont obtient une représentation de n'importe quel vecteur.
Dans votre exemple, afin de représenter n'importe quel vecteur, on pourra utiliser trois vecteurs particuliers \({\vec{\textrm U_x}}\), \({\vec{\textrm U_y}}\) et \({\vec{\textrm U_z}}\). Chacun étant défini en choisissant une direction particulière. En général \({\vec{\textrm U_z}}\) est choisit aligné sur l'axe \(Oz\), aligné sur la direction verticale, et pointant vers le haut.
Par exemple \(||{\vec{\textrm U_x}}|| =||{\vec{\textrm U_y}}||=||{\vec{\textrm U_z}}||= 1\) est un vecteur unitaire de longueur 1 et sans unité ce qui permet de le multiplier par une grandeur qui elle, a une unité. Par exemple :
\(\vec{\textrm v_z} = 3 \,\textrm{m.s^{-1}}\,\vec{\textrm U_z}\) est un vecteur vitesse dirigé vers le haut et de longueur 3 m.s-1
\(\vec{\textrm a_z} = - 0,5 \,\textrm{m.s^{-2}}\,\vec{\textrm U_z}\) est un vecteur accélération dirigé vers le bas et de longueur 0,5 m.s-2
Vous remarquerez que, contrairement aux vecteurs unitaires de la base utilisée, ces derniers ont une dimension. Le vecteur vitesse à une longueur en m.s-1 et le vecteur accélération à une longueur en m.s-2.
Les deux autres vecteurs \({\vec{\textrm U_x}}\) et \({\vec{\textrm U_y}}\) seront dans un plan horizontal et dans des direction perpendiculaires.
Lorsqu'on utilise \({\vec{\textrm U_{\theta}}}\) (appelé "U théta" et non "U delta"), il s'agit d'un vecteur unitaire aligné sur la direction prise par un point qui se déplacerait en augmentant uniquement sa coordonnée \(\theta\).
Lorsqu'on utilise \({\vec{\textrm U_N}}\), il s'agit d'un vecteur unitaire d'une base qui se déplace le long de la trajectoire du point étudié, accompagnant ce dernier à chaque instant. On appelle ça parfois un repère de Frenet. Il est composé de trois vecteurs mais donc seuls deux sont souvent suffisants : \({\vec{\textrm U_t}}\), vecteur unitaire tangentiel localement à la trajectoire, et \({\vec{\textrm U_N}}\), vecteur dit "normal", c'est à dire orthogonal, à la trajectoire localement.
Souvent on le représente donc en utilisant un ou plusieurs vecteurs commodes car simples à définir. Ces derniers, lorsqu'ils permettent de représenter tous les vecteurs possibles d'un espace sont dits "formant une base" de représentation vectorielle. L'idéal étant de les choisir de façon à ce qu'ils soient de longueur unité et orthogonaux. Ils forment alors une base de représentation des vecteurs dite "orthonormale". Ainsi, en les multipliant convenablement et en additionnant ces vecteurs convenablement multipliés, ont obtient une représentation de n'importe quel vecteur.
Dans votre exemple, afin de représenter n'importe quel vecteur, on pourra utiliser trois vecteurs particuliers \({\vec{\textrm U_x}}\), \({\vec{\textrm U_y}}\) et \({\vec{\textrm U_z}}\). Chacun étant défini en choisissant une direction particulière. En général \({\vec{\textrm U_z}}\) est choisit aligné sur l'axe \(Oz\), aligné sur la direction verticale, et pointant vers le haut.
Par exemple \(||{\vec{\textrm U_x}}|| =||{\vec{\textrm U_y}}||=||{\vec{\textrm U_z}}||= 1\) est un vecteur unitaire de longueur 1 et sans unité ce qui permet de le multiplier par une grandeur qui elle, a une unité. Par exemple :
\(\vec{\textrm v_z} = 3 \,\textrm{m.s^{-1}}\,\vec{\textrm U_z}\) est un vecteur vitesse dirigé vers le haut et de longueur 3 m.s-1
\(\vec{\textrm a_z} = - 0,5 \,\textrm{m.s^{-2}}\,\vec{\textrm U_z}\) est un vecteur accélération dirigé vers le bas et de longueur 0,5 m.s-2
Vous remarquerez que, contrairement aux vecteurs unitaires de la base utilisée, ces derniers ont une dimension. Le vecteur vitesse à une longueur en m.s-1 et le vecteur accélération à une longueur en m.s-2.
Les deux autres vecteurs \({\vec{\textrm U_x}}\) et \({\vec{\textrm U_y}}\) seront dans un plan horizontal et dans des direction perpendiculaires.
Lorsqu'on utilise \({\vec{\textrm U_{\theta}}}\) (appelé "U théta" et non "U delta"), il s'agit d'un vecteur unitaire aligné sur la direction prise par un point qui se déplacerait en augmentant uniquement sa coordonnée \(\theta\).
Lorsqu'on utilise \({\vec{\textrm U_N}}\), il s'agit d'un vecteur unitaire d'une base qui se déplace le long de la trajectoire du point étudié, accompagnant ce dernier à chaque instant. On appelle ça parfois un repère de Frenet. Il est composé de trois vecteurs mais donc seuls deux sont souvent suffisants : \({\vec{\textrm U_t}}\), vecteur unitaire tangentiel localement à la trajectoire, et \({\vec{\textrm U_N}}\), vecteur dit "normal", c'est à dire orthogonal, à la trajectoire localement.
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Anaïs
Re: Principes de la mécanique
Ah d'accord ! Merci beaucoup de votre réponse, les choses sont bien plus claire dans ma tête à présent !
Bon weekend,
Anaïs.
Bon weekend,
Anaïs.
Re: Principes de la mécanique
Les vecteurs sont des êtres mathématiques difficiles à appréhender. Il faut du temps pour être à l'aise avec ces derniers. L'erreur la plus courante est de les confondre avec des nombres car au final, on fait des opérations (additions et soustractions) qui sont similaires à celle utilisées avec les nombres.
Bon week-end Anaïs, et bon courage pour vos études vectorielles.
Bon week-end Anaïs, et bon courage pour vos études vectorielles.