Exercice type bac : circuit RLC

[Hermine S]

Bonjour,

J'ai à faire un exercice type bac pour m'entrainer, mais je bloque sur une partie. Pouvez vous m'aider à la comprendre ?

Voici l'énoncé :

On réalise un circuit série comportant un interrupteur, un conducteur ohmique de résistance R, une bobine d'inductance L et un condensateur de capacité C. A l'instant t0 pris comme origine des temps, le condensateur est chargé. On note sa charge Q0. On ferme l'interrupteur à l'instant t0. On observe des oscillations libres amorties.

Les questions et ce que j'ai trouvé pour y répondre :

a) Donner l'expression de la pseudo-période T des oscillations de la tension qui apparait aux bornes d'un condensateur de circuilt RLC en série.
=> Je ne vois que la formule T= 2pi racine(LC) avec C est la charge du condensateur et L l'inductance de la bobine. Mais ne s'agit-il pas de la période propre plutot que de la pseudo-période ??

b) Montrez que T est homogène à un temps.
=> il faut montrer que chaque terme de l'expression s'exprime dans une unité de temps, ok, mais je ne trouve pas...

c) La pseudo-période T et la période propre T0 ont elles la même valeur ?
=> il me manque la confirmation de la question a)


d) Sachant que R= 10 ohm, L = 440 mH, Q0= 4,4*10^-6 C, et C = 1,1*10^-6 F, calculer T avec un chiffre significatif. On prendra pi = 3.
=> il me manque la confirmation de la question a)

e) Donner l'allule de la courbe représentative des variations de la tention Uc(t). On calculera la valeur de la tension à t0 et on supposera que le signal s'annule au bout de 4 ou 5 pseudo-périodes.
=> Uc = q/c = 4 V.
Comme le signal s'annule apres plusieurs pseudo-périodes, c'est un régime pseudo-périodique, donc l'allure de la courbe est sinusoïdale décroissante.

f) Décrire l'allure des courbes représentatives des variations de la tension aux bornes du condensateur dans les situations suivantes :
(1) R = 10 ohm ; L = 440 mH ; C = 4,4*10^-6 F
(2) R = 20 ohm ; L = 440 mH ; C = 1,1*10^-6 F
(3) R = 10 ohm ; L = 440 mH ; C = 1,1*10^-6 F
=> (1) R est la meme que dans la question précédente, donc c'est toujours un régime pseudo périodique. La courbe est sinusoïdale décroissante avec des oscillations de moins grande amplitude car C est plus grande.
=> (2) R est plus élevée donc c'est un régime apériodique. La courbe est décroissante et n'est pas sinusoïdale.
=> (3) je ne trouve pas ce que la valeur de L change...


Merci pour votre aide et votre patience.

[SoS(8)]

Bonsoir Hermine,
a) La pseudo période est de fait égale à la période propre du circuit tant que la résistance totale de ce circuit n'est pas trop importante (sinon le circuit atteint la résistance critique apériodique). Donc \(T=T_0=2\pi\sqrt{LC}\)
b) il faut élever cette relation au carré : \(T^2=4\pi^2.L.C\). De plus il faut s'interroger sur les unités de L et C en utilisant les relations de bases : \(u=L.di/dt\), \(C=q/u\) et \(q=i.t\). Remplacez les lettres par leurs unités dans la formule de Thomson et vous devriez arriver à montrer que T est homogène à un temps.
J'attends vos réponses.

[Hermine S]

Bonsoir, merci pour la réponse !

Alors, pour la a) j'ai compris.

Pour la b) maintenant :
U = L (di/dt) donc L = U(dt/di)
q = c x u ; i = dq/dt donc c = q/u = (it)/u
on obtient : T² = 4pi²LC = 4pi² U(dt/di) * (it)/u
Les U et les i s'annulent. Il reste : T² = 4pi²t²
[T²] = 4pi² [t²]
[T] = 2pi[t] et t s'exprime en secondes, donc T est bien homogène à un temps.

[SoS(8)]

C'et très bien, une petite remarque cependant, dans une équation aux dimentions le temps se note entre crochet et majuscule [T], la tension :, l'intensité : etc..
Vous devriez pouvoir maintenant faire la suite...

[Hermine S]

Merci pour la remarque, je vais veiller à écrire l'équation correctement.

J'ai essayé d'avancer :

c) Comme vous l'avez dit SOS(8), la période propre T0 vaut T0= 2pi racine(LC) donc T=T0. Pseudo-période et période propre ont la même valeur.

d) Je vais désigner la racine par V, parce que j'ai un peu de mal avec les écritures des forums :
T = 2*3V(440*10^-3 * 1,1*10^-6) = 4,17*10^-3 s

e) Uc = q/c = 4 V.
Comme le signal s'annule apres plusieurs pseudo-périodes, c'est un régime pseudo-périodique, donc l'allure de la courbe est sinusoïdale décroissante.

f) il faut que je calcule chaque pseudo-période pour les comparer ?

[SoS(8)]

Attention : question d : calculer d avec 1 chiffre signifiactif ! reprenez votre réponse.
e) oui,il faut faire "partir" la courbe à la tension maximale Uc=4V, la faire décroitre pour s'annuler au bout de 4 ou 5 périodes.
f) Sachez que la résistance critique est donnée par la relation \(R_c=2\sqrt{\frac{L}{C}}\). CETTE RELATION N'EST PAS AU PROGRAMME DE TS. On constate donc qu'avec les valeurs de L et c de votre exercice, on est très loin de la résistance critique.
Sans la relation que je vous ai donné ci-dessus, on aurait pu s'en douter car les résistances utilisées dans l'exercice sont faibles...
Le régime dans les 3 cas sera donc pseudo périodique. (2) et (3) ont même période mais les amortissements sont différents. (1) et (3) ont même amortissement mais les périodes sont différentes.
J'espères vous avoir aidé...

[Hermine S]

Bonjour.

d) T= 4*10^-3 s
Une erreur d'inattention de ma part, merci de l'avoir signalé.
(0 ne serait pas significatif, puisque cela voudrait dire qu'il n'y a pas de pseudo-période du tout ?)


Pour les questions suivantes, je pense avoir compris.
Merci pour la formule de la résistance critique. Je vais la retenir au cas où, dans un autre exercice, j'hésiterais entre un caractère faible ou critique pour la valeur d'une résistance.

Je vous remercie de m'avoir guidée tout au long de cet exercice ! Votre aide m'a été très précieuse et je pense mieux avoir compris le chapitre maintenant.
Je vous souhaite une bonne fin de journée.

[SoS(8)]

Pas de problème, nous sommes là pour ça. Bon courage à vous pour la suite.

[SoS(8)]

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