Accélérations d'une planète sur son orbite ?

[Pierre (TS)]

Bonjour,

1) peut-on dire que l'accélération normale An d'une planète est maximale à l'aphélie puisque An = v^2/R = MG/R^2 avec R minimal à l'aphélie.
2) du coup, avec les mêmes relations, peut-on en déduite que An est minimale à la périhélie ?
3) je sais que l'accélération tangentielle At d'une planète est nulle à l'aphélie et la périhélie et qu'elle augmente puis diminue entre les 2 points. Peut-on faire des affirmations (minimale/maximale ?) sur l'accélération totale (résultant de la normale et de la tangentielle) quelque part sur l'orbite ?

Merci d'avance pour votre aide.

[SoS(8)]

Bonjour,

1) peut-on dire que l'accélération normale An d'une planète est maximale à l'aphélie puisque An = v^2/R = MG/R^2 avec R minimal à l'aphélie.
2) du coup, avec les mêmes relations, peut-on en déduite que An est minimale à la périhélie ?
3) je sais que l'accélération tangentielle At d'une planète est nulle à l'aphélie et la périhélie et qu'elle augmente puis diminue entre les 2 points. Peut-on faire des affirmations (minimale/maximale ?) sur l'accélération totale (résultant de la normale et de la tangentielle) quelque part sur l'orbite ?

Merci d'avance pour votre aide.

Re-bonjour Pierre,
Je pense qu'il vaut mieux considérer le sujet dans son ensemble comme indiqué ci-dessous. Auquel cas, dans le cas d'une trajectoire élliptique, on utilise la notation \(a_p\) comme étant l'accélération de la planète.
Ceci dit, n'oubliez pas que l'excentricité pour le cas de notre système solaire, en particulier la rotation de la Terre autour du Soleil, est très faible, quasi-nulle ! Conséquence, on utilise le modèle mathématique de la trajectoire circulaire uniforme, et du coup, vos problèmes sont "gommés" : la vitesse est constante sur toute la trajectoire, l'accélération tangentielle est nulle...

[Pierre (TS)]

Merci pour votre réponse. Je suis désolé mais je vais vous embêter ;-) en vous demandant, si vous voulez bien, de répondre à ma question 3 dans le cas plus général et qui m'intéresse, celui du mouvement elliptique d'une planète. Merci d'avance ;-)

Bonjour,

1) peut-on dire que l'accélération normale An d'une planète est maximale à l'aphélie puisque An = v^2/R = MG/R^2 avec R minimal à l'aphélie.
2) du coup, avec les mêmes relations, peut-on en déduite que An est minimale à la périhélie ?
3) je sais que l'accélération tangentielle At d'une planète est nulle à l'aphélie et la périhélie et qu'elle augmente puis diminue entre les 2 points. Peut-on faire des affirmations (minimale/maximale ?) sur l'accélération totale (résultant de la normale et de la tangentielle) quelque part sur l'orbite ?

Merci d'avance pour votre aide.

Re-bonjour Pierre,
Je pense qu'il vaut mieux considérer le sujet dans son ensemble comme indiqué ci-dessous. Auquel cas, dans le cas d'une trajectoire élliptique, on utilise la notation \(a_p\) comme étant l'accélération de la planète.
Ceci dit, n'oubliez pas que l'excentricité pour le cas de notre système solaire, en particulier la rotation de la Terre autour du Soleil, est très faible, quasi-nulle ! Conséquence, on utilise le modèle mathématique de la trajectoire circulaire uniforme, et du coup, vos problèmes sont "gommés" : la vitesse est constante sur toute la trajectoire, l'accélération tangentielle est nulle...

[SoS(8)]

Tout ce que l'on peut dire, à mon sens, c'est que l'accélération "totale" (somme(vectorielle) de la tangentielle et normale) est minimale à l'aphélie et maximale au périhélie, donc qu'elle varie suivant ces 2 positions (soit elle augmente, soit elle diminue, cela dépend du sens de rotation)...

[Pierre (TS)]

Merci pour votre réponse.
Je prends note de cela mais je ne le comprends pas (et donc je ne vais pas bien le retenir ;-) J'ai bien compris que l'accélération normale est minimale à l'aphélie et maximale au périhélie mais comment peut-on comprendre que c'est la même chose pour l'accélération tangentielle ?

Merci d'avance pour votre aide.

Tout ce que l'on peut dire, à mon sens, c'est que l'accélération "totale" (somme(vectorielle) de la tangentielle et normale) est minimale à l'aphélie et maximale au périhélie, donc qu'elle varie suivant ces 2 positions (soit elle augmente, soit elle diminue, cela dépend du sens de rotation)...

[SoS(8)]

Merci pour votre réponse.
Je prends note de cela mais je ne le comprends pas (et donc je ne vais pas bien le retenir ;-) J'ai bien compris que l'accélération normale est minimale à l'aphélie et maximale au périhélie mais comment peut-on comprendre que c'est la même chose pour l'accélération tangentielle ?

Merci d'avance pour votre aide.

Tout ce que l'on peut dire, à mon sens, c'est que l'accélération "totale" (somme(vectorielle) de la tangentielle et normale) est minimale à l'aphélie et maximale au périhélie, donc qu'elle varie suivant ces 2 positions (soit elle augmente, soit elle diminue, cela dépend du sens de rotation)...

Effectivement, la "chose" n'est pas simple, je dirais simplement, mais ce n'est pas une démonstration, que lorsque le rayon de l'orbite augmente, la vitesse du satellite diminue (loi des aires) donc la vitesse à l'aphélie \(v_A\) est inférieure à la vitesse au périhélie \(v_P\). Raisonnons sur un intervalle de temps mesurable très petit \(\Delta t\). Si l'on divise la vitesse par \(\Delta t\) (le même intervalle de temps pour les 2 accélérations) on obtient la même relation pour les accélérations moyennes tangentielles, soit en prenant la limite de ces valeurs lorque \(\Delta t\) tend vers zéro :
a(aphélie)< a(périhélie) pour les accélérations tangentielles.

[Pierre (TS)]

Merci pour votre réponse.
Je prends note de cela mais je ne le comprends pas (et donc je ne vais pas bien le retenir ;-) J'ai bien compris que l'accélération normale est minimale à l'aphélie et maximale au périhélie mais comment peut-on comprendre que c'est la même chose pour l'accélération tangentielle ?

Merci d'avance pour votre aide.

Tout ce que l'on peut dire, à mon sens, c'est que l'accélération "totale" (somme(vectorielle) de la tangentielle et normale) est minimale à l'aphélie et maximale au périhélie, donc qu'elle varie suivant ces 2 positions (soit elle augmente, soit elle diminue, cela dépend du sens de rotation)...

Effectivement, la "chose" n'est pas simple, je dirais simplement, mais ce n'est pas une démonstration, que lorsque le rayon de l'orbite augmente, la vitesse du satellite diminue (loi des aires) donc la vitesse à l'aphélie \(v_A\) est inférieure à la vitesse au périhélie \(v_P\). Raisonnons sur un intervalle de temps mesurable très petit \(\Delta t\). Si l'on divise la vitesse par \(\Delta t\) (le même intervalle de temps pour les 2 accélérations) on obtient la même relation pour les accélérations moyennes tangentielles, soit en prenant la limite de ces valeurs lorque \(\Delta t\) tend vers zéro :
a(aphélie)< a(périhélie) pour les accélérations tangentielles.

Oulala, c'est très malin, ça ! :-) Merci beaucoup pour ce raisonnement !

[SoS(8)]

Merci, notez que ce raisonnement est personnel et qu'il ne correspond pas à une démonstration... Je continue de penser que l'approximation circulaire évite ce genre de problème et colle très bien à la réalité expérimentale...

[SoS(8)]

SUJET CLOS PAR LES MODÉRATEURS, SI VOUS VOULEZ LE RELANCER VOUS DEVEZ REFORMULER UNE QUESTION !