fonction exponentille avec les dipoles RC
Posté : dim. 6 déc. 2009 20:59
Bonjour ,
J'ai un problème général avec les équations différentielles sur les condensateurs et les bobines. Je n'ai pas ce problème en maths, bref.
Commençons par les condensateurs avec la charge.
J'essaie donc de comprendre avant d'appliquer.
L'étude théorique de la charge d'un condensateur.
On cherche donc l'équation différentielle vérifiée par la tension Uc :
on a : Uc + Ur = E ( relation (1) )
et q = C.uc
or Ur = RI et selon la convention récepteur, i = \(\frac{dq}{dt}\)
\(\frac{dq}{dt}\) = C.\(\frac{dUc}{dt}\) donc Ur = R C.\(\frac{dUc}{dt}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) Uc + R C.\(\frac{dUc}{dt}\)= E
La relation ci-dessus est donc la solution générale de l'équation différentielle lors de la charge du condensateur ?
On nous dit ensuite : "On ne cherche pas à résoudre ces équations différentielles (trouver uC = f(T)) vérifiant l'équation) mais à définir la fonction Uc = \({a}\) \(e^{-t/T}\) + \({b}\) (où a, b et T sont des constantes) solution de l'équation différentielle." POURQUOI CETTE EXPRESSION AVEC a ET b ??
Là, je ne saisis pas tout, ni la suite ...
On a donc : \(\frac{dUc}{dt}\) = a x \(\frac{-1}{T}\) \(e^{-t/T}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-RC*a}{T}\) + \({a}\) \(e^{-t/T}\) + b = E \(\Leftrightarrow\) \({a}\) \(e^{-t/T}\) [ 1 - \(\frac{-RC}{T}\) + b ] = E (factorisation par \({a}\)\(e^{-t/T}\), quand même je comprends les calculs)
On me dit après que cette équation est vérifiée quelque soit la date t si : b = E et 1 - \(\frac{-RC}{T}\) = 0 , d'où T = RC
(car b et E sont des constantes et \(e^{-t/T}\) est variable, il faut donc annuler 1 - \(\frac{RC}{T}\) et alors b = E)
On a donc Uc = \({a}\) \(e^{-t/RC}\) + E
On passe aux conditions initiales : Pour déterminer a, on utilise la valeur de uC à l'instant t=0s
A t = 0s, Uc = 0V alors Uc(t=0) = ax1 + E \(\Leftrightarrow\) a = -E
La solution de l'équation différentielle lors de la charge est donc : Uc(t) = -E\(e^{-t/T}\) + E \(\Leftrightarrow\) Uc(t) = E(1-\(e^{-t/RC}\))
c'est la partie en rouge que je ne comprends pas vraiment, est-elle vraiment utile ? Si oui pourquoi ?
Merci pour vos explications.
Cordialement.
J'ai un problème général avec les équations différentielles sur les condensateurs et les bobines. Je n'ai pas ce problème en maths, bref.
Commençons par les condensateurs avec la charge.
J'essaie donc de comprendre avant d'appliquer.
L'étude théorique de la charge d'un condensateur.
On cherche donc l'équation différentielle vérifiée par la tension Uc :
on a : Uc + Ur = E ( relation (1) )
et q = C.uc
or Ur = RI et selon la convention récepteur, i = \(\frac{dq}{dt}\)
\(\frac{dq}{dt}\) = C.\(\frac{dUc}{dt}\) donc Ur = R C.\(\frac{dUc}{dt}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) Uc + R C.\(\frac{dUc}{dt}\)= E
La relation ci-dessus est donc la solution générale de l'équation différentielle lors de la charge du condensateur ?
On nous dit ensuite : "On ne cherche pas à résoudre ces équations différentielles (trouver uC = f(T)) vérifiant l'équation) mais à définir la fonction Uc = \({a}\) \(e^{-t/T}\) + \({b}\) (où a, b et T sont des constantes) solution de l'équation différentielle." POURQUOI CETTE EXPRESSION AVEC a ET b ??
Là, je ne saisis pas tout, ni la suite ...
On a donc : \(\frac{dUc}{dt}\) = a x \(\frac{-1}{T}\) \(e^{-t/T}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-RC*a}{T}\) + \({a}\) \(e^{-t/T}\) + b = E \(\Leftrightarrow\) \({a}\) \(e^{-t/T}\) [ 1 - \(\frac{-RC}{T}\) + b ] = E (factorisation par \({a}\)\(e^{-t/T}\), quand même je comprends les calculs)
On me dit après que cette équation est vérifiée quelque soit la date t si : b = E et 1 - \(\frac{-RC}{T}\) = 0 , d'où T = RC
(car b et E sont des constantes et \(e^{-t/T}\) est variable, il faut donc annuler 1 - \(\frac{RC}{T}\) et alors b = E)
On a donc Uc = \({a}\) \(e^{-t/RC}\) + E
On passe aux conditions initiales : Pour déterminer a, on utilise la valeur de uC à l'instant t=0s
A t = 0s, Uc = 0V alors Uc(t=0) = ax1 + E \(\Leftrightarrow\) a = -E
La solution de l'équation différentielle lors de la charge est donc : Uc(t) = -E\(e^{-t/T}\) + E \(\Leftrightarrow\) Uc(t) = E(1-\(e^{-t/RC}\))
c'est la partie en rouge que je ne comprends pas vraiment, est-elle vraiment utile ? Si oui pourquoi ?
Merci pour vos explications.
Cordialement.