Bonjour ,
J'ai un problème général avec les équations différentielles sur les condensateurs et les bobines. Je n'ai pas ce problème en maths, bref.
Commençons par les condensateurs avec la charge.
J'essaie donc de comprendre avant d'appliquer.
L'étude théorique de la charge d'un condensateur.
On cherche donc l'équation différentielle vérifiée par la tension Uc :
on a : Uc + Ur = E ( relation (1) )
et q = C.uc
or Ur = RI et selon la convention récepteur, i = \(\frac{dq}{dt}\)
\(\frac{dq}{dt}\) = C.\(\frac{dUc}{dt}\) donc Ur = R C.\(\frac{dUc}{dt}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) Uc + R C.\(\frac{dUc}{dt}\)= E
La relation ci-dessus est donc la solution générale de l'équation différentielle lors de la charge du condensateur ?
On nous dit ensuite : "On ne cherche pas à résoudre ces équations différentielles (trouver uC = f(T)) vérifiant l'équation) mais à définir la fonction Uc = \({a}\) \(e^{-t/T}\) + \({b}\) (où a, b et T sont des constantes) solution de l'équation différentielle." POURQUOI CETTE EXPRESSION AVEC a ET b ??
Là, je ne saisis pas tout, ni la suite ...
On a donc : \(\frac{dUc}{dt}\) = a x \(\frac{-1}{T}\) \(e^{-t/T}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-RC*a}{T}\) + \({a}\) \(e^{-t/T}\) + b = E \(\Leftrightarrow\) \({a}\) \(e^{-t/T}\) [ 1 - \(\frac{-RC}{T}\) + b ] = E (factorisation par \({a}\)\(e^{-t/T}\), quand même je comprends les calculs)
On me dit après que cette équation est vérifiée quelque soit la date t si : b = E et 1 - \(\frac{-RC}{T}\) = 0 , d'où T = RC
(car b et E sont des constantes et \(e^{-t/T}\) est variable, il faut donc annuler 1 - \(\frac{RC}{T}\) et alors b = E)
On a donc Uc = \({a}\) \(e^{-t/RC}\) + E
On passe aux conditions initiales : Pour déterminer a, on utilise la valeur de uC à l'instant t=0s
A t = 0s, Uc = 0V alors Uc(t=0) = ax1 + E \(\Leftrightarrow\) a = -E
La solution de l'équation différentielle lors de la charge est donc : Uc(t) = -E\(e^{-t/T}\) + E \(\Leftrightarrow\) Uc(t) = E(1-\(e^{-t/RC}\))
c'est la partie en rouge que je ne comprends pas vraiment, est-elle vraiment utile ? Si oui pourquoi ?
Merci pour vos explications.
Cordialement.
fonction exponentille avec les dipoles RC
Modérateur : moderateur
-
Yoyo TermS
Re: fonction exponentille avec les dipoles RC
Vous avez bien compris l'ensemble.
Je corrige cependant quelques erreurs, qui ne sont peut-être que d'écriture :
Vous avez écrit :
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-RC*a}{T}\)*\(e^{-t/T}\) + \({a}\) \(e^{-t/T}\) + b = E \(\Leftrightarrow\) \({a}\) \(e^{-t/T}\) [ 1 - \(\frac{-RC}{T}\)] + b = E
Ce qui vous amène ensuite au résultat que vous avez trouvé.
La détermination de a, de b et de T se fait bien à partir des conditions initiales comme vous l'avez très bien fait :
* a = -E
* b = E
* T = RC
Ce qui semble vous poser problème, c'est de poser à priori une solution à l'équation différentielle. C'est pourtant la façon en physique de résoudre des équations différentielles : ce sont toujours les mêmes, on connait donc la "forme" de la solution. Ne reste plus qu'à l'adapter aux conditions expérimentales au travers des constantes qui apparaissent dans cette solution.
La résolution mathématique des équations différentielles est pénible, et peu utile au physicien, puisqu'il connait la solution à priori.
D'ailleurs, lorsque l'équation différentielle est "nouvelle" et la solution inconnue, la plupart d'entre nous sont en difficulté ... c'est à cela que servent ceux qui font des maths !!
Si cette méthode ne vous est pas satisfaisante, je vous engage à vous diriger vers des études de mathématique.
Si vous trouvez qu'il est commode d'avoir des gens qui bossent préalablement pour vous, afin de ne pas perdre de temps en calculs et d'en consacrer à la compréhension du phénomène physique, faites de la physique.
Et si les maths vous barbent vraiment, faites de la chimie ! (non, c'est une blague de chimiste).
En espérant avoir répondu à votre question.
Je corrige cependant quelques erreurs, qui ne sont peut-être que d'écriture :
Vous avez écrit :
Qui se corrige par (attention, 2 erreurs à retrouver) :(1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-RC*a}{T}\) + \({a}\) \(e^{-t/T}\) + b = E \(\Leftrightarrow\) \({a}\) \(e^{-t/T}\) [ 1 - \(\frac{-RC}{T}\) + b ] = E
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{-RC*a}{T}\)*\(e^{-t/T}\) + \({a}\) \(e^{-t/T}\) + b = E \(\Leftrightarrow\) \({a}\) \(e^{-t/T}\) [ 1 - \(\frac{-RC}{T}\)] + b = E
Ce qui vous amène ensuite au résultat que vous avez trouvé.
La détermination de a, de b et de T se fait bien à partir des conditions initiales comme vous l'avez très bien fait :
* a = -E
* b = E
* T = RC
Ce qui semble vous poser problème, c'est de poser à priori une solution à l'équation différentielle. C'est pourtant la façon en physique de résoudre des équations différentielles : ce sont toujours les mêmes, on connait donc la "forme" de la solution. Ne reste plus qu'à l'adapter aux conditions expérimentales au travers des constantes qui apparaissent dans cette solution.
La résolution mathématique des équations différentielles est pénible, et peu utile au physicien, puisqu'il connait la solution à priori.
D'ailleurs, lorsque l'équation différentielle est "nouvelle" et la solution inconnue, la plupart d'entre nous sont en difficulté ... c'est à cela que servent ceux qui font des maths !!
Si cette méthode ne vous est pas satisfaisante, je vous engage à vous diriger vers des études de mathématique.
Si vous trouvez qu'il est commode d'avoir des gens qui bossent préalablement pour vous, afin de ne pas perdre de temps en calculs et d'en consacrer à la compréhension du phénomène physique, faites de la physique.
Et si les maths vous barbent vraiment, faites de la chimie ! (non, c'est une blague de chimiste).
En espérant avoir répondu à votre question.