Bonjour, j'ai quelques problèmes à avancer dans un exercice de mécanique dont voici l'énoncé:
On s'intéresse au problème d'un objet de masse m, posé sur un support et accroché à un ressort. ( Dans un repère \(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\)) .
On suppose que dans son mouvement, l'objet frotte contre le support. Pour simplifier le problème, ce frottement sera modélisé par une force proportionnelle à la vitesse, de la forme :
\(\overrightarrow{F}_{frottement}=-\mu\overrightarrow{V}\)
\(avec : \mu=0,001kg.s^-1\)
L'effort exercé par le ressort sur l'objet sera de la forme :
\(\overrightarrow{F}_{ressort} = -k(x-l)\)
avec k la constante de raideur du ressort et l sa longueur à vide (on prendra \(k= 1kg.s^-2\) et \(l =0,1m\))
Après avoir proprement défini un système et un référentiel, effectuer le bilan des forces s'appliquant à l'objet, puis:
1) Déduire la position \(x_{eq}\) à l'équilibre du ressort
2)Donner les équations du mouvement du ressort en supposant que l'objet étudié ait été laché depuis une position \(x_0 =0,5m\),\(y_0 =0m\)
3)Essayer de tracer la trajectoire selon \(\overrightarrow{x}\) de l'objet.
Système : Objet de masse \(m\) accroché à un ressort horizontal.
Référentiel : Terrestre, supposé galiléen.
Forces: - Le poids : \(\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}\)
-La réaction du support : \(\overrightarrow{R} =-\overrightarrow{P}= -m\overrightarrow{g}\) (ici je ne sait pas s'il est correct de mettre ça)
-Le frottement: \(\overrightarrow{F}_{frottement} = -\mu \overrightarrow{V}\)
-L'effort du ressort: \(\overrightarrow{F}_{ressort}= -k(x-l)\)
1) Pour trouver \(x_{eq}\) j'applique la 1ère loi de Newton qui dit que si un objet est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme alors : \(\sum \overrightarrow{F}_{exterieures}=0\)
Voici les composantes des forces :
\(\overrightarrow{ P }\) \(\left\{
\begin{matrix} P_x = 0 \\
P_y = - P= -mg\end{matrix}
\right.\)
\(\overrightarrow{ R }\) \(\left\{
\begin{matrix} R_x = \\
R_y= R = P = mg \end{matrix}
\right.\)
\(\overrightarrow{ F }_{ressort}\) \(\left\{
\begin{matrix} F_{x,ressort} = -k(x-l) \\
F_{y,ressort}= 0 \end{matrix}
\right.\)
\(\overrightarrow{ F }_{frottement}\) \(\left\{
\begin{matrix} F_{x,frottement} = -\mu V_x = -\mu \frac{dx}{dt}\\
F_{y,frottement}=0 \end{matrix}
\right.\)
On en déduit que l'action se passe seulement sur l'axe \(\overrightarrow{x}\) auquel on réduira notre champ d'étude, de plus \(\overrightarrow{ P }\) et \(\overrightarrow{ R }\) s'annulent, ce qui donne :
\(\sum \overrightarrow{F}_{exterieures}=0=\overrightarrow{ F }_{frottement}+\overrightarrow{ F }_{ressort}=-\mu V_x-k(x-l)\)
Pour trouver \(x_{eq}\) j'ai deux hypothèses, mais je ne suis pas sur de laquelle est réellement bonne :
A l'état d'équilibre, il n'y a pas de vitesse, soit \(-\mu V_x = 0\) donc \(x_{eq}= - \frac {1} {k} + l\)
(Problème d'affichage, ça n'est pas f(x)=x² mais -\mu V_x=0 )
Ou bien, je dis je fais mon équation sans enlever le frottement :
\(-\mu V_x -k(x-l)=0\) soit: \(x_{eq} =-\frac{\mu V_x}{k} + l\)
(Encore un problème d'affichage qui ne se corrige pas, ça n'est pas f(x)=x² mais -\mu V_x -k(x-l)=0 )
Comme la vitesse est nulle on a 0 au dénominateur , soit : \(x_{eq}=l\)
Ressort horizontal avec frottement
Modérateur : moderateur
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Baptiste4
Re: Ressort horizontal avec frottement
Bonsoir Baptiste,
Votre raisonnement me semble correct.
En ce qui concerne la conclusion, vous vous retrouvez avec une équation différentielle : mu . x' - k.x = -k.l qui n'est pas du tout dans le programme de T°S.
Bien cordialement.
Votre raisonnement me semble correct.
En ce qui concerne la conclusion, vous vous retrouvez avec une équation différentielle : mu . x' - k.x = -k.l qui n'est pas du tout dans le programme de T°S.
Bien cordialement.
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Baptiste4
Re: Ressort horizontal avec frottement
Merci de m'avoir répondu.
Je prépare un DAEU B pour obtenir un équivalent bac afin de reprendre des études, je pense que le prof fait ça pour nous mettre dans le bain de l'université.
Pour revenir à l'exercice : \(x_{eq}\) est il égal à L ou à -1/k +l ?
(Ce bug d'affichage avec f(x)=x² est-il normal ? je ne comprends vraiment pas ..)
Je prépare un DAEU B pour obtenir un équivalent bac afin de reprendre des études, je pense que le prof fait ça pour nous mettre dans le bain de l'université.
Pour revenir à l'exercice : \(x_{eq}\) est il égal à L ou à -1/k +l ?
(Ce bug d'affichage avec f(x)=x² est-il normal ? je ne comprends vraiment pas ..)
Re: Ressort horizontal avec frottement
Oui pour la question 1) la réponse est x = l (sa vitesse Vx est effectivement nulle). Pensez à ce qui va se passer en pratique, l'objet va osciller puis s'arrêter. Sa position à l'équilibre sera obtenue lorsque le ressort n'est ni comprimé ni étiré donc lorsque x = l (l : longueur au repos du ressort). Cordialement.
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Baptiste4
Re: Ressort horizontal avec frottement
Bonjour et merci pour votre réponse,
J'applique maintenant la deuxième loi de Newton au système :
\(m\overrightarrow{a} = \sum \overrightarrow{F}_{exterieures}\) avec \(m\overrightarrow{a}= ma_x\)
Soit :
\(ma_x= -\mu V_x-k(x-l)\)
On a ainsi :
\(m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{\mu dx(t)}{dt}+kx(t)=kl\)
Maintenant ça se corse car je n'ai jamais vraiment manipulé d'equadiff de cet ordre.
Dans un autre exercice sur un ressort à la verticale, notre prof divisait toute l'équation par m , ce qui donnerait :
\(\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{\mu}{m}\frac{dx(t)}{dt}+\frac{kx(t)}{m}=\frac{kl}{m}\)
J'ai (à peu près)compris que :
\(x(t)_{generale}=x(t)_{homogene}+x(t)_{particuliere}\)
Mais là je suis un peu bloqué, dans l'exercice sur le ressort vertical notre prof considérait le membre ay'' comme constant,soit = 0, ici je ne sais pas si je peux l'appliquer. j'imagine que dès qu'on lache le ressort il y a une certaine accélération au début , à moins que ça ne soit juste la vitesse initiale et qu'il n'y ai pas d'accélération.
J'applique maintenant la deuxième loi de Newton au système :
\(m\overrightarrow{a} = \sum \overrightarrow{F}_{exterieures}\) avec \(m\overrightarrow{a}= ma_x\)
Soit :
\(ma_x= -\mu V_x-k(x-l)\)
On a ainsi :
\(m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{\mu dx(t)}{dt}+kx(t)=kl\)
Maintenant ça se corse car je n'ai jamais vraiment manipulé d'equadiff de cet ordre.
Dans un autre exercice sur un ressort à la verticale, notre prof divisait toute l'équation par m , ce qui donnerait :
\(\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{\mu}{m}\frac{dx(t)}{dt}+\frac{kx(t)}{m}=\frac{kl}{m}\)
J'ai (à peu près)compris que :
\(x(t)_{generale}=x(t)_{homogene}+x(t)_{particuliere}\)
Mais là je suis un peu bloqué, dans l'exercice sur le ressort vertical notre prof considérait le membre ay'' comme constant,soit = 0, ici je ne sais pas si je peux l'appliquer. j'imagine que dès qu'on lache le ressort il y a une certaine accélération au début , à moins que ça ne soit juste la vitesse initiale et qu'il n'y ai pas d'accélération.
Re: Ressort horizontal avec frottement
Ce que vous avez fait est correct. Effectivement, vous tombez sur une équation différentielle du second ordre qu'il faut savoir résoudre. Ce n'est plus de la physique mais des maths. La solution générale du membre de l'équation sans second membre est de la forme :
x(t) = A exp (-t/B). cos (wt+phi) avec A et B des constantes et W (appelé pulsation) et phi appelé déphasage. Mais avez-vous appris à résoudre ce genre d'équation ?
Normalement, on retrouve une équation qui ressemble à celle obtenue pour un ressort vertical.
Cordialement.
x(t) = A exp (-t/B). cos (wt+phi) avec A et B des constantes et W (appelé pulsation) et phi appelé déphasage. Mais avez-vous appris à résoudre ce genre d'équation ?
Normalement, on retrouve une équation qui ressemble à celle obtenue pour un ressort vertical.
Cordialement.
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Baptiste4
Re: Ressort horizontal avec frottement
Je n'ai pas appris à résoudre ces équations, notre prof nous a montré un exemple avec le ressort vertical. Je connais juste les équadiff d'ordre 1 comme : y'+ay=0 avec y=kexp(ax) et y'+ay+b avec y=kexp(ax) -b/a.
Je n'ai pas bien identifié votre solution générale, il y a des membres que je retrouve pas dans ma méthode. J'essaye avec la méthode de notre prof:
Solution particulière, avec x(t) constante :
Comme x(t) est constante \(\frac{d^2x(t)}{dt^2} et \frac{\mu}{m}\frac{dx(t)}{dt}\) sont nulles.
Soit x(t) =l
Solution homogène :
\(\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{\mu}{m}\frac{dx(t)}{dt}+\frac{kx(t)}{m}=0\)
\(\Delta = 1-4(1)(1)=-3<0\)
\(x(t)=[\lambda cos(\beta t)+ \omega sin(\beta t)]e^{\alpha t}\)
Avec \(\alpha = -\frac{1}{2}\)
et \(\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Soit :
\(x(t)_{generale}=l+[\lambda cos(\frac{sqrt{3}}{2}t)+\omega sin (\frac{sqrt{3}}{2}t)]e^-\frac{1}{2}t\)
Je n'ai pas bien identifié votre solution générale, il y a des membres que je retrouve pas dans ma méthode. J'essaye avec la méthode de notre prof:
Solution particulière, avec x(t) constante :
Comme x(t) est constante \(\frac{d^2x(t)}{dt^2} et \frac{\mu}{m}\frac{dx(t)}{dt}\) sont nulles.
Soit x(t) =l
Solution homogène :
\(\frac{d^2x(t)}{dt^2}+\frac{\mu}{m}\frac{dx(t)}{dt}+\frac{kx(t)}{m}=0\)
\(\Delta = 1-4(1)(1)=-3<0\)
\(x(t)=[\lambda cos(\beta t)+ \omega sin(\beta t)]e^{\alpha t}\)
Avec \(\alpha = -\frac{1}{2}\)
et \(\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Soit :
\(x(t)_{generale}=l+[\lambda cos(\frac{sqrt{3}}{2}t)+\omega sin (\frac{sqrt{3}}{2}t)]e^-\frac{1}{2}t\)
Re: Ressort horizontal avec frottement
Oui, vous obtenez bien une solution générale de l'équation sans second membre de la forme x(t) = A exp (-t/B). cos (wt+phi) car votre terme entre crochets devant l'exponentiel (somme de fonctions sinusoïdales) peut se mettre sous la forme cos(wt + phi).Remarque : en maths cos (a+b) = cos(a).cos(b) - sin (a).sin(b).
Votre objet va osciller et à l'équilibre (au repos) x=l ce qui est cohérent (le terme exponentiel correspond à l'amortissement, la limite de cet exponentiel lorsque t tend vers l'infini est nulle à cause du signe négatif.
Votre réponse semble juste.
Votre objet va osciller et à l'équilibre (au repos) x=l ce qui est cohérent (le terme exponentiel correspond à l'amortissement, la limite de cet exponentiel lorsque t tend vers l'infini est nulle à cause du signe négatif.
Votre réponse semble juste.
Re: Ressort horizontal avec frottement
J'ai regardé votre calcul du discriminant. Pourriez-vous le détailler ? Avez vous la masse du solide pour que je puisse vérifier vos résultats numériques pour la détermination des constantes. Cordialement.
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Baptiste4
Re: Ressort horizontal avec frottement
je crois que j'ai fais une erreur pour le discriminant, j'ai ommis les constantes il me semble :
\(\Delta = (\frac{\mu}{m})^2-4(1)(\frac{k}{m})=\frac{\mu^2-4km}{m^2}\)
Soit :
\(\alpha =\frac{-\frac{\mu}{m}}{2} = -\frac{\mu}{2m}\)
\(\beta=\sqrt{\frac{\frac{-\mu^2+4km}{m^2}}{2}} = \sqrt{\frac{-\mu^2+4km}{2m^2}}\)
Est ce correct comme cela ?
Je n'ai pas la masse du solide, il s'agit juste de m, les seules données numériques sont celles que j'ai mises dans l'énoncé plus haut, \mu et k.
\(\Delta = (\frac{\mu}{m})^2-4(1)(\frac{k}{m})=\frac{\mu^2-4km}{m^2}\)
Soit :
\(\alpha =\frac{-\frac{\mu}{m}}{2} = -\frac{\mu}{2m}\)
\(\beta=\sqrt{\frac{\frac{-\mu^2+4km}{m^2}}{2}} = \sqrt{\frac{-\mu^2+4km}{2m^2}}\)
Est ce correct comme cela ?
Je n'ai pas la masse du solide, il s'agit juste de m, les seules données numériques sont celles que j'ai mises dans l'énoncé plus haut, \mu et k.
Re: Ressort horizontal avec frottement
Voilà qui est mieux mais pour la valeur de beta, votre chiffre 2 est bien au dénominateur mais n'est pas dans la racine carrée.
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Baptiste4
Re: Ressort horizontal avec frottement
Bonjour,
Merci, en effet le 2 n'est pas compris dans la racine , voici enfin la solution générale de l'equation :
\(x(t)_{generale} = l+[\lambda cos(\frac{1}{2} sqrt{\frac{4km-\mu^2}{m^2}}t)+ \omega sin (\frac{1}{2} sqrt{\frac{4km-\mu^2}{m^2}}t)]e^{-\frac{\mu}{2m}t} , \lambda, \omega \in \mathbb{R}\)
Ceci est donc mon equation du mouvement ?
Pour répondre à la question 2, je dois simplement remplacer l par 0,5 ?
Comment déterminer les constantes \(\lambda\) et \(\omega\)?
Merci, en effet le 2 n'est pas compris dans la racine , voici enfin la solution générale de l'equation :
\(x(t)_{generale} = l+[\lambda cos(\frac{1}{2} sqrt{\frac{4km-\mu^2}{m^2}}t)+ \omega sin (\frac{1}{2} sqrt{\frac{4km-\mu^2}{m^2}}t)]e^{-\frac{\mu}{2m}t} , \lambda, \omega \in \mathbb{R}\)
Ceci est donc mon equation du mouvement ?
Pour répondre à la question 2, je dois simplement remplacer l par 0,5 ?
Comment déterminer les constantes \(\lambda\) et \(\omega\)?
Re: Ressort horizontal avec frottement
Bien, en effet il faut déterminer les valeurs des constantes. Pour cela, il vous faut utiliser les conditions initiales de la position du mobile.
A t = 0s on vous dit que x0 = 0,5 m et comme l = 0,1 m, vous allez pouvoir déterminer la valeur de lambda.
Ensuite pour déterminer la valeur de omega, utiliser le fait qu'à t =0 s, la vitesse du mobile est nulle (enfin je le suppose !). N'oubliez pas que la vitesse instantanée du mobile est égale à la dérivée par rapport au temps de x.
Je vous laisse réfléchir et proposer vos solutions. Cordialement.
A t = 0s on vous dit que x0 = 0,5 m et comme l = 0,1 m, vous allez pouvoir déterminer la valeur de lambda.
Ensuite pour déterminer la valeur de omega, utiliser le fait qu'à t =0 s, la vitesse du mobile est nulle (enfin je le suppose !). N'oubliez pas que la vitesse instantanée du mobile est égale à la dérivée par rapport au temps de x.
Je vous laisse réfléchir et proposer vos solutions. Cordialement.
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Baptiste4
Re: Ressort horizontal avec frottement
Bonjour,
Malgré diverses recherches je n'ai pas compris comment déterminer les constantes, même en injectant les conditions initiales, je n'arrive pas à avancer.
Est-ce qu'il y a un lien avec le cercle trigonométrique ?
Je n'ai pas compris comment déterminer lambda indépendamment de oméga.
En fait, à part remplacer x(t) par 1/2 je ne vois pas ce que je peut faire d'autre.
Je ne suis pas sur qu'on puisse considérer que nous sommes à t=0 ,pour moi c'est un t quelconque. Si t=0 tout ce qu'il y a dans les parenthèses est égal à 0...
Malgré diverses recherches je n'ai pas compris comment déterminer les constantes, même en injectant les conditions initiales, je n'arrive pas à avancer.
Est-ce qu'il y a un lien avec le cercle trigonométrique ?
Je n'ai pas compris comment déterminer lambda indépendamment de oméga.
En fait, à part remplacer x(t) par 1/2 je ne vois pas ce que je peut faire d'autre.
Je ne suis pas sur qu'on puisse considérer que nous sommes à t=0 ,pour moi c'est un t quelconque. Si t=0 tout ce qu'il y a dans les parenthèses est égal à 0...
Re: Ressort horizontal avec frottement
Bonjour, je reprends le sujet, mais j'ai peur d'être moins performant que mon prédécesseur sur ces équations qui remontent loin pour moi !
Pour la détermination de lambda, elle est facile à partir des conditions expérimentales, si en effet vous connaissez les valeurs de cos(0) et sin(0) ! N'oubliez pas que t = 0, ce qui élimine (remplace par 1 ou 0) quasiment tous les termes. Je vous laisse essayer.
Pour oméga, il faut effectivement d'abord dériver l'expression de x pour obtenir l'expression de v, à partir de laquelle les mêmes calculs sur les conditions expérimentales vous permettront de le trouver.
Pour la détermination de lambda, elle est facile à partir des conditions expérimentales, si en effet vous connaissez les valeurs de cos(0) et sin(0) ! N'oubliez pas que t = 0, ce qui élimine (remplace par 1 ou 0) quasiment tous les termes. Je vous laisse essayer.
Pour oméga, il faut effectivement d'abord dériver l'expression de x pour obtenir l'expression de v, à partir de laquelle les mêmes calculs sur les conditions expérimentales vous permettront de le trouver.