SOS physique-chimie

Voilà un colis largué par un hélicoptère lancé à 36km/h à 500 m de hauteur. Dans l'exercice on demande l'équation de la trajectoire lorsque le parachute de s'ouvre pas. Sur ce point pas de pb, je trouve :
\(y = -\frac{gx^2}{2v_o^2}+h\)

En revanche dans un second temps on indique que le parachute s'ouvre après 5 secondes de chute et qu'il est alors soumis à "une action retardatrice assimilable à force de résistance \(\overrightarrow{F}\)". On demande l'équation de la trajectoire avant l'ouverture et après l'ouverture. Je suis un peu en difficulté pour modéliser la situation à l'ouverture du parachute.

Quelles sont les caractéristiques du vecteur vitesse à t=5s ? Les conditions initiales pour déterminer l'équation de la trajectoire après l'ouverture du parachute sont-elles celles à t=0 ou à t=5 ?

Merci de votre aide.

Bonsoir, Pour déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse à la date t=5,0 s, vous devez utiliser les équations horaires du mouvement. Pour établir l'équation de la trajectoire, vous avez au préalable établi les équations Vx=f(t) et Vy=g(t). Il vous suffit donc d'utiliser ces deux équations avec t=5,0 s. Une fois que vous aurez les caractéristiques du vecteur vitesse à cette date, vous pourrez refaire une étude avec la nouvelle force (de frottement), en prenant comme nouvelle origine des dates la date à laquelle le parachute s'ouvre, vous aurez ainsi les caractéristiques du vecteur vitesse initiale.

Bonjour,

Merci pour cette précision. Enfin est-ce juste de dire que la trajectoire après l'ouverture du parachute est une droite verticale ?

Bonjour,

Vous ne pouvez pas dire que la trajectoire est une droite verticale, puisque la force F est horizontale.

Il faudrait que vous repreniez la deuxième loi de Newton, avec cette fois-ci la prise en compte de la force de pesanteur et de la force de frottement. Cela vous permettra de connaître les coordonnées du vecteur accélération, puis de remonter au coordonnées du vecteur vitesse, puis position. Vous voyez ?

Je n'avais pas précisé mais c'est bien montré sur le graphique : la force F est verticale ascendante (flèche orange).

J'ai les équations horaires avant l'ouverture du parachute :
\(a_x = 0\)
\(a_y=-g\)
\(v_x=v_o\)
\(v_y=-gt\)
\(x=v_ot\)
\(y=-\frac{1}{2}gt^2+h\)

J'ai refait mes calculs d'équations horaire après ouverture du parachute :
selon 2e loi de Newton :

projection sur \(O_x\) : \(mg_x + F_x = ma_x\) soit \(m\times0 + 0 = ma_x\) donc \(a_x = 0\)
projection sur \(O_y\) : \(mg_y + F_y = ma_y\) soit \(m\times-g + F = ma_y\) donc \(a_y = -\frac{mg+F}{m}\)
AN : \(a_y = -\frac{100\times10+1000}{100} = 0\)

NB : l'accélération est nulle à l'ouverture du parachute

d'où, ensuite
\(v_x=A\) or à \(t=t_p\) (\(t_p\) : temps d'ouverture du parachute), \(v_x=v_o\) donc \(A=v_o\) donc \(v_x=v_o\)
\(v_y=B\) or à \(t=t_p\), \(v_y=-gt_p\) donc \(B=-gt_p\) donc \(v_y=-gt_p\)

puis
\(x=v_ot+C\) or à \(t=t_p\), \(x=v_ot_p\) donc \(v_ot+C=v_ot_p\) donc \(C=v_otp-v_ot=v_o(tp-t)\) donc \(x=v_ot_p\)
\(y=(-gt_p)t+D\) or à \(t=t_p\), \(y=-\frac{1}{2}gt_p^2+h\) donc \((-gt_p)t_p+D=-\frac{1}{2}gt_p^2\) donc \(D=-\frac{1}{2}gt_p^2+gt_p^2\) donc \(y=\frac{1}{2}gt_p^2\)

je suis un peu perdu j'avouerais car en fin de compte x et y sont constant après l'ouverture du parachute dans mon raisonnement.

Pouvez-vous me corriger, svp.

D'accord. Il me semblait que F était une force latérale causée par un vent constant. Mais puisqu'il s'agit d'une force verticale ascendante, partons de cela.

Avant ouverture du parachute, il s'agit bien d'une chute libre.
Après l'ouverture du parachute, je suis d'accord avec vous concernant l'accélération : les deux composantes sont nulles. A l'instant où le parachute s'ouvre, la vitesse n'est par contre pas horizontale.Vous pouvez connaître les composantes du vecteur vitesse à l'instant t = 5s en vous servant des équations horaires de la vitesse avant ouverture du parachute.

Une fois que vous les aurez ainsi déterminées, vous pourrez étudier la trajectoire du système après ouverture du parachute. Les condition initiales de cette phase du vol sont telle qu'à t = 0, les composantes du vecteur vitesse sont celles que vous avez trouvées à t =5s, l'accélération est nulle, et vous pouvez aussi déterminer l'altitude du système à cet instant là.

Pouvez vous procéder par étape et nous tenir au courant de l'avancée de votre raisonnement ?

OK.

Je reprends à partir de l'équation horaire de l'accélération après l'ouverture du parachute :

La 2e loi de Newton a permis de constater que \(a_x\) et \(a_y\) sont nulles.
\(v_x\) est une primitive de \(a_x\) donc on en déduit que sont équation s'exprime par une constante A, soit \(v_x = A\)
\(v_y\) est un primitive de \(a_y\), on l'exprime pareillement par un autre constante B, soit \(v_y = B\)

On détermine A et B par la situation initiale, c'est à dire à l'ouverture du parachute (soit dans ce cas précis à \(t=t_p=5\))
Les équations horaires entre t=0 et t=t_p on été déterminées précédemment.
\(v_x = v_o\)
\(v_y=-gt\)

à \(t=t_p\) on a donc :
\(v_x=v_o\)
\(v_y=-gt_p\)

ce qui veut dire également :
\(A=v_o\)
\(B=-gt_p\)

Donc les équations horaires de la vitesse après ouverture du parachute sont :
\(v_x = v_o\)
\(v_y=-gt_p\)

c'est parfait !

ensuite

\(x\) est une primitive de \(v_x\)
\(y\) est une primitive de \(v_y\)

d'où
\(x = v_ot + C\)
\(y=(-gt_p)t + D\)

or, toujours d'après les équations horaires avant ouverture du parachute, à t=t_p, on a :
\(x = v_ot_p\)
\(y = -\frac{1}{2}gt_p^2+h\)
ce qui donne alors
\(v_ot+C=v_ot_p\) donc \(C=v_ot_p-v_ot\)
\((-gt_p)t + D = -\frac{1}{2}gt_p^2+h\) donc \(D=gt_pt-\frac{1}{2}gt_p^2+h\) ou \(D=gt_p(t-\frac{t_p}{2})+h\)

si je remplaçais mon \(t\) également pas \(t_p\) alors j'aurais :
\(C=0\)
\(D=\frac{1}{2}gt_p^2+h\)

mais je ne sais pas justifier pourquoi je ferais ça...

Attention, je vous conseille de bien séparer les deux phases de la chute.

Autrement dit, lors de la chute avant ouverture du parachute, t = 0 correspond au début de la chute.
Puis le parachute s'ouvre, vous refaites alors une étude en prenant t = 0 le moment où le parachute s'ouvre.

Cela ne change pas les expressions des coordonnées du vecteur vitesse à tp. Elles sont correctes.

Donc, lorsque vous recherchez les constantes C et D, vous utilisez l'origine des dates t = 0, de telle sorte que cette origine corresponde à l'ouverture du parachute.

Alors d'après les équations horaires de \(x\) et \(y\) on détermine les coordonnées \(x\) et \(y\) à l'ouverture du parachute :

\(x=v_ot_p=10\times5=50\)
\(y=-\frac{1}{2}gt_p^2=-\frac{1}{2}10\times5^2+500=375\)

donc pour trouver \(C\) et \(D\), on pose à \(t=t_p=5\) :
\(v_ot_p+C=50\)
\(10\times5+C=50\)
donc \(C=0\)

\((-gt_p)t_p+D=375\)
\((-10\times5)5+D=375\)
donc \(D=375+250=625\)

donc
\(x=v_ot\)
\(y=(-gt_p)t+625\)

donc \(t=\frac{x}{v_o}\)

donc l'équation de la trajectoire après l'ouverture du parachute est \(y=(-gt_p)\frac{x}{v_o}+625\)
ou \(y=-5x+625\)

Vous faites une erreur, toujours en rapport avec l'origine des dates. Pour trouver les constantes C et D, vous utilisez l'instant t = tp = 5s. Or, si vous définissez, lors de cette phase de la chute, l'instant où le parachute s'ouvre comme origine des dates, alors cela correspond à t = tp = 0s.

Autrement dit, lors de cette deuxième phase, à l'instant t = 0s, vous savez que les coordonnées du vecteur vitesse sont :

Vx = Vo
Vy = -g.tp

et vous pouvez aussi choisir de dire, concernant l'origine du repère lors de cette deuxième phase, que

x = 0
y = -0,5.g.tp²+h

Donc, lorsque vous recherchez l'équation de la trajectoire après ouverture, vous avez

ax = 0
ay = 0

Puis

Vx = C
Vy = D

Et pour déterminer ces constantes, vous vous servez des conditions initiales, qui sont certes celles qui correspondent à l'instant t = tp = 5s lors de la phase 1, mais comme vous avez changé l'origine des dates, ces conditions correspondent à l'instant t = 0 lors de l'étude du mouvement dans cette deuxième phase.

Vous comprenez ?

A vrai dire, je ne suis sûr de rien mais je suppose qu'il faut dire qu'à l’ouverture on est à \(t=5\) secondes le la situation antérieure et à \(t=0\) seconde de la situation postérieure ? C'est ça ?

Bonjour Jude,
Comme vous l'indique Sos(1), pour trouver le vecteur vitesse à un instant t, il faut utiliser les équations horaires : Vx=f(t) et Vy=g(t).
Pour trouver les conditions initiales, il faut regarder la situation la t=0s.
Cela vous aide-t-il ?
Sos(41)