problème de mécanique .
Posté : mer. 15 janv. 2014 20:28
Une particule P est soumise à une accélération centrale de centre O ( ie : \(\vec{a}=-a\vec{u_r}\))
et de module \(a=k(r_0/r)^n\), où k, \(r_0\) et n sont des constantes positives. On utilise les coordonnées polaires r=OP et \(\Theta\).
1. Comment faut-il choisir la vitesse initiale \(\vec{v_0}\) pour que sa trajectoire soit un cercle de centre O et de rayon \(r_0\), décrit à la vitesse \(\omega_0\) ?
Pour ca je ne vois pas comment me lancer, mais vu que a est centripète c'est colinéaire à \(\vec{u_r}\) il faut que les forces répulsives se compensent à l’accélération. m*a=k/m *r on aurait une équation diff car \(a=\ddot{r}\) ??? un truc du genre à exploité en posant \(\omega_0=\sqrt{k/m}\) ? mais j'en suis pas vraiment sure
2.Les conditions précédentes n'étant pas rigoureusement remplies, la particule décrit une orbite qui s'écarte légèrement de l'orbite circulaire de rayon \(r_0\). on pose alors :
\(r=r_0(1+\epsilon)\), avec \(\epsilon <<1\)
on admet que \(\vec{v}\) reste pratiquement normale à \(\vec{OP}\)
Etablir l'équa diff \(\ddot{\epsilon}+\omega_0^2(3-n)\epsilon\)
Ca je seche...
3. Pour quelles valeurs de n le mouvement est-il stable?
j'ai mis pour n>2 car on obtient une equa diff avec un polynôme caractéristique à solutions réelles donc une solution en exponentielle assez simple sans sin et cos .
4. Pour n=2, quel sera la mouvement ?
J'ai mis un mouvement purement sinusoïdale (oscillateur harmonique).
Pouvez-vous me débloquer pour les questions 1 et 2 SVP ?
et de module \(a=k(r_0/r)^n\), où k, \(r_0\) et n sont des constantes positives. On utilise les coordonnées polaires r=OP et \(\Theta\).
1. Comment faut-il choisir la vitesse initiale \(\vec{v_0}\) pour que sa trajectoire soit un cercle de centre O et de rayon \(r_0\), décrit à la vitesse \(\omega_0\) ?
Pour ca je ne vois pas comment me lancer, mais vu que a est centripète c'est colinéaire à \(\vec{u_r}\) il faut que les forces répulsives se compensent à l’accélération. m*a=k/m *r on aurait une équation diff car \(a=\ddot{r}\) ??? un truc du genre à exploité en posant \(\omega_0=\sqrt{k/m}\) ? mais j'en suis pas vraiment sure
2.Les conditions précédentes n'étant pas rigoureusement remplies, la particule décrit une orbite qui s'écarte légèrement de l'orbite circulaire de rayon \(r_0\). on pose alors :
\(r=r_0(1+\epsilon)\), avec \(\epsilon <<1\)
on admet que \(\vec{v}\) reste pratiquement normale à \(\vec{OP}\)
Etablir l'équa diff \(\ddot{\epsilon}+\omega_0^2(3-n)\epsilon\)
Ca je seche...
3. Pour quelles valeurs de n le mouvement est-il stable?
j'ai mis pour n>2 car on obtient une equa diff avec un polynôme caractéristique à solutions réelles donc une solution en exponentielle assez simple sans sin et cos .
4. Pour n=2, quel sera la mouvement ?
J'ai mis un mouvement purement sinusoïdale (oscillateur harmonique).
Pouvez-vous me débloquer pour les questions 1 et 2 SVP ?