Bonjour
J'aurais besoin d'un coup de pouce pour résoudre le problème suivant:
Un point matériel de masse m attaché à un ressort peut coulisser sans frottement le long d'une tige T. La tige T tourne autour de l'axe z avec une vitesse constante W. On dénote par x(t) la position de la masse sur la tige par rapport à l'axe de rotation.
1) calculer la position d'équilibre \(x(t)=x_e\) et déterminer sous quelle condition elle existe.
2) Discuter le cas limite \(K\gg m\omega^2\).
3) Ecrire l'équation d'évolution temporelle de la masse hors de son point d'équilibre.
4) Utiliser un changement de variable de la forme y(t) = x(t)+b, où b est une constante pour se ramener à une équation de la forme \(\ddot{y}+cy=0\). Calculer b et c. En déduire la fréquence d'oscillation de la masse m.
Données: La masse m, la constante du ressort k ainsi que sa longueur au repos \(l_0\) et la vitesse angulaire W.
Pour la première question et en considérant que la longueur au repos \(l_0\) correspond à celle du ressort sans la masse m, je trouve:
soit \(y\) l'élongation du ressort par rapport à \(l_0\), alors \(y=x_e-l_0\) .
à l'équilibre du système masse-ressort on à \(K(x_e-l_0)=m\omega^2x_e\) et donc \(x_e=\frac{l_0}{1-\frac{m\omega^2}{K}}\)
Ce qui me donne pour le 2) si K est beaucoup plus grand que mw^2, alors \(x_e\rightarrow{l_0}\)
pour la suite je sèche...
merci d'avance
oscar
système masse-ressort
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système masse-ressort
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Re: système masse-ressort
Bonjour Oscar.
Ne sachant pour quelle raison précise vous "séchez" par ces temps humides, je commence par vous donner cette indication :
Imaginez que, le système étant dans sa position d'équilibre (x = xe), on l'écarte de sa position d'équilibre. Il va se mettre à osciller. On sait donc que par rapport à la tige, on doit obtenir l'équation différentielle d'un système oscillant.
Peut-être en ai-je trop dit ? Ou pas assez ? N'hésitez pas dans ce cas à me préciser ce qui vous gène particulièrement dans cet exercice. J'ajusterai ma réponse en fonction de cela.
Ne sachant pour quelle raison précise vous "séchez" par ces temps humides, je commence par vous donner cette indication :
Imaginez que, le système étant dans sa position d'équilibre (x = xe), on l'écarte de sa position d'équilibre. Il va se mettre à osciller. On sait donc que par rapport à la tige, on doit obtenir l'équation différentielle d'un système oscillant.
Peut-être en ai-je trop dit ? Ou pas assez ? N'hésitez pas dans ce cas à me préciser ce qui vous gène particulièrement dans cet exercice. J'ajusterai ma réponse en fonction de cela.
Re: système masse-ressort
Y arrivez-vous ?
Autre question : savez vous travailler avec les coordonnées polaires ? Ou sinon, autre façon de voir les choses, savez vous travailler dans un référentiel non galiléen ?
Autre question : savez vous travailler avec les coordonnées polaires ? Ou sinon, autre façon de voir les choses, savez vous travailler dans un référentiel non galiléen ?
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Invité
Re: système masse-ressort
merci pour vos indications
Essentiellement le problème c'est que la seul mention des mots "équation différentielle" provoque un collapse de mes fonctions cérébrales...
Je ne sais par quel bout commencer pour trouver l'équation d'évolution de la masse en dehors de son point d'équilibre.
J'ai d'abord tenté d'utiliser le théorème de l'énergie cinétique, soit \(\frac{1}{2}m(x_e+x)^2\omega^2=F_rx\) mais je nai rien su tirer de cette expression. Alors je me suis dit qu'il faut peut être définir l'échelle d'énergie étant nulle en xe ce qui permet de poser \(\frac{1}{2}mx^2\omega^2=F_rx\) et de là \(\frac{1}{2}mx^2\omega^2=-m\ddot{x}x\)
oméga étant constant j'arrive à \(x=-\frac{2\ddot{x}}{\omega^2}\) et par rapport à l'axe de rotation \(x(t)=x_e+x=x_e-\frac{2\ddot{x}}{\omega^2}\) ce qui je crois ne répond pas à la question et d'ailleurs je n'ai aucune confiance en ce résultat.
Après j'ai exploré une autre piste partant de \(\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\) par rapport à xe, mais entre la force de rappel variant par rapport au point d'équilibre xe, l'accélération centripète variant par rapport à la distance de l'axe de rotation et le fait que oméga soit constant je ne m'en sort pas.
J'ai vraiment l'impression qu'il me manque une étape, ce qui me gène c'est que selon moi l'évolution de x en fonction du temps est justement définie par la résolution de l'équa diff et du type \(x(t)=Acos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\delta)\)
En gros je tourne en rond sans connaitre le point de départ de la résolution ni d'ailleurs à quoi je doit arriver.
Essentiellement le problème c'est que la seul mention des mots "équation différentielle" provoque un collapse de mes fonctions cérébrales...
Je ne sais par quel bout commencer pour trouver l'équation d'évolution de la masse en dehors de son point d'équilibre.
J'ai d'abord tenté d'utiliser le théorème de l'énergie cinétique, soit \(\frac{1}{2}m(x_e+x)^2\omega^2=F_rx\) mais je nai rien su tirer de cette expression. Alors je me suis dit qu'il faut peut être définir l'échelle d'énergie étant nulle en xe ce qui permet de poser \(\frac{1}{2}mx^2\omega^2=F_rx\) et de là \(\frac{1}{2}mx^2\omega^2=-m\ddot{x}x\)
oméga étant constant j'arrive à \(x=-\frac{2\ddot{x}}{\omega^2}\) et par rapport à l'axe de rotation \(x(t)=x_e+x=x_e-\frac{2\ddot{x}}{\omega^2}\) ce qui je crois ne répond pas à la question et d'ailleurs je n'ai aucune confiance en ce résultat.
Après j'ai exploré une autre piste partant de \(\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\) par rapport à xe, mais entre la force de rappel variant par rapport au point d'équilibre xe, l'accélération centripète variant par rapport à la distance de l'axe de rotation et le fait que oméga soit constant je ne m'en sort pas.
J'ai vraiment l'impression qu'il me manque une étape, ce qui me gène c'est que selon moi l'évolution de x en fonction du temps est justement définie par la résolution de l'équa diff et du type \(x(t)=Acos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\delta)\)
En gros je tourne en rond sans connaitre le point de départ de la résolution ni d'ailleurs à quoi je doit arriver.
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Invité
Re: système masse-ressort
En réponse au message de 11h58, qui m'a échappé avant que je n'envoie ma dernière réponse, je ne sais faire ni l'un ni l'autre mais Je serais très heureux d'apprendre. J'imagine qu'il s'agit de se placer en temps qu'observateur dans un référentiel centré sur l'axe de rotation et animé d'une vitesse angulaire omega.
Re: système masse-ressort
Les lois de Newton ne s'appliquent que dans un référentiel galiléen. Ici, le référentiel de la tige n'est pas galiléen. Dans le référentiel de la tige, la masse subit une force qui tend à la pousser vers l'extérieur. Cette force n'en est pas une. Elle est en réalité la conséquence du caractère non galilén de la tige. En quelque sorte, c'est à cause du référentiel qui tourne, que la masse subit cette "force". Pour cette raison, on parle alors de pseudoforce.
Dans le référentiel de la tige, on va alors pouvoir utiliser la deuxième loi de Newton, à condition de faire apparaître cette pseudoforce. Et vous connaissez cette pseudoforce : il s'agit de la force centripète.
Donc, si vous connaissez l'expression de la force centripète, vous pouvez démarer convenablement cet exercice.
Quand vous y serez parvenu, je pourrai, si vous le souhaitez, vous parler des coordonnées polaires.
Tenez moi au courant de l'évolution de la résolution de l'exercice. Si je ne vous ai pas assez aidé, ou si mes explications ne sont pas claires, n'hésitez pas à me le faire savoir.
Bon courage.
Dans le référentiel de la tige, on va alors pouvoir utiliser la deuxième loi de Newton, à condition de faire apparaître cette pseudoforce. Et vous connaissez cette pseudoforce : il s'agit de la force centripète.
Donc, si vous connaissez l'expression de la force centripète, vous pouvez démarer convenablement cet exercice.
Quand vous y serez parvenu, je pourrai, si vous le souhaitez, vous parler des coordonnées polaires.
Tenez moi au courant de l'évolution de la résolution de l'exercice. Si je ne vous ai pas assez aidé, ou si mes explications ne sont pas claires, n'hésitez pas à me le faire savoir.
Bon courage.
Re: système masse-ressort
J'ai oublié de vous répondre par rapport à la réponse que vous avez formulée.
Vous proposiez de répondre à l'aide du théorème de l'énergie cinétique. Dans le référentiel de la tige, il faudra là encore tenir compte de la force centripète. Donc, c'est possible, mais il faudra rajouter le travail de la force centripète, qui n'est pas une force constante. Pour trouver son expression, il faudra utiliser la même méthode que celle utilisée pour trouver l'expression du travail de la force de rappel d'un ressort.
Pouvez vous me dire quel concours vous préparez ?
Bon courage.
Vous proposiez de répondre à l'aide du théorème de l'énergie cinétique. Dans le référentiel de la tige, il faudra là encore tenir compte de la force centripète. Donc, c'est possible, mais il faudra rajouter le travail de la force centripète, qui n'est pas une force constante. Pour trouver son expression, il faudra utiliser la même méthode que celle utilisée pour trouver l'expression du travail de la force de rappel d'un ressort.
Pouvez vous me dire quel concours vous préparez ?
Bon courage.
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Invité
Re: système masse-ressort
Je ne pensait pas que ce problème m'emmènerait aussi loin. Suite à votre réponse j'ai entrepris quelques recherches et je crois que je commence à entrevoir ce que vous entendez par travailler en coordonnées polaire et travailler dans un référentiel non galiléen. En fait ce sont des notions que j'ai déjà vu brièvement sans avoir jamais eu l'occasion de les utiliser "en pratique". C'est très intéressant mais je ne suis pas encore près d'en avoir fait le tour.
Juste pour éviter que je m'enlise inutilement pourriez-vous répondre à ces deux question:
Après avoir lu la page traitant de la pseudoforce centrifuge dans wikipedia je m'interroge sur un passage dont voici la citation:
Dans le cas du système de l'exercice, est-il exacte que, bien que la masse ne soit pas immobile par rapport au référentiel tournant (non-inertiel) ,mais puisque la tige contraint le mouvement de la masse sur l'axe radial, alors il n'y a pas "d'effets coriolis" et on peux donc se passer d'en tenir compte? (et que ce ne serrait pas le cas si le système masse-ressort était par exemple posé sur un plateau lisse tournant)
Une deuxième question: dans la réponse que je donne à la première question du problème
Concernant votre question, le concours que je prépare est un examen d'admission pour entrer en physique à l'université de Genève.
Juste pour éviter que je m'enlise inutilement pourriez-vous répondre à ces deux question:
Après avoir lu la page traitant de la pseudoforce centrifuge dans wikipedia je m'interroge sur un passage dont voici la citation:
Ma question porte plus particulièrement sur le dernier paragraphe de cette citation.(wikipedia, page traitant de la pseudoforce centrifuge)
La force centrifuge est un cas particulier de force d'inertie d'entrainement, qui apparait dans des référentiels en rotation uniforme par rapport à un référentiel galiléen. On soulignera que l'objet auquel est attaché le référentiel subit une accélération « centripète » (voir Composition des mouvements).
Si on étudie le mouvement d'un objet dans un référentiel tournant, on peut dès lors utiliser l'équation
\(\vec{F}=m\cdot\vec{a}\)
à condition de rajouter, notamment, une force centrifuge comme agissant sur l'objet.
Si, de plus, depuis le référentiel tournant, l'objet est perçu comme à l'équilibre (\(\vec{a}=\vec{0})\), alors la force centrifuge est la seule force fictive qu'il est nécessaire de rajouter. C'est par exemple le cas pour des référentiels attachés à des objets en rotation étant donné que si le référentiel est attaché à l'objet, l'objet y est perçu en équilibre, puisqu'il n'y est pas perçu en mouvement. Dans le cas contraire, il convient de rajouter une autre force fictive, la force de Coriolis.
Dans le cas du système de l'exercice, est-il exacte que, bien que la masse ne soit pas immobile par rapport au référentiel tournant (non-inertiel) ,mais puisque la tige contraint le mouvement de la masse sur l'axe radial, alors il n'y a pas "d'effets coriolis" et on peux donc se passer d'en tenir compte? (et que ce ne serrait pas le cas si le système masse-ressort était par exemple posé sur un plateau lisse tournant)
Une deuxième question: dans la réponse que je donne à la première question du problème
est-ce que je n'ai pas justement utilisé "implicitement" et sans le savoir un changement de référentiel en posant l'égalité \(m\omega^2x_e-K(x_e-l_0)=0\) et alors l'expression plus générale de la position en dehors du point d'équilibre serrait \(ma=m\omega^2x-K(x-x_e)\) où ici x décrit la position par rapport à l'axe de rotation.1) calculer la position d'équilibre x(t)=x_e et déterminer sous quelle condition elle existe.
Concernant votre question, le concours que je prépare est un examen d'admission pour entrer en physique à l'université de Genève.
Re: système masse-ressort
Effectivement, vous avez raison.
Lorsque vous écrivez la deuxième loi de Newton, en faisant apparaître la force centripète du côté des forces appliquées au système, vous partez très bien.
Concernant la force de Coriolis, on devrait ici en tenir copte en toute rigueur, car le système n'est pas immobile dans le référentiel tournant. Mais cette force ne va pas nous poser de problème, et ce pour deux raisons. La première, c'est qu'il s'agit d'une force donc l'intensité dépend de la vitesse relative du système par rapport au référentiel tournant. Et comme cette vitesse est relativement faible... D'autre part, cette force est orthogonale au vecteur vitesse. Le sytème étant contraint à se déplacer le long de la tige, cette force est donc perpendiculaire à la tige. Et comme le raisonnement à mener nécessite de projeter la deuxième loi de Newton selon la direction de la tige, la projection de la force de Coriolis sera nulle.
Résumons : Vous avez bien écrit la force centripète : F = mxw*w
Votre équation écrite dans le référentiel de la tige, donnant ma = Fressort +Fcentripète (avec les vecteurs) est juste.
Vous pouvez alors poursuivre la résolution de l'exercice.
Ou, si vous le voulez, vous pouvez partir du théorème de l'énergie cinétique, en prenant toutefois en compte le travail de la force centripète. Les deux méthodes mènent bien entendu exactement au même résultat.
Tenez moi au courant. Et si vous avez encore des questions, n'hésitez pas à les poser.
Lorsque vous écrivez la deuxième loi de Newton, en faisant apparaître la force centripète du côté des forces appliquées au système, vous partez très bien.
Concernant la force de Coriolis, on devrait ici en tenir copte en toute rigueur, car le système n'est pas immobile dans le référentiel tournant. Mais cette force ne va pas nous poser de problème, et ce pour deux raisons. La première, c'est qu'il s'agit d'une force donc l'intensité dépend de la vitesse relative du système par rapport au référentiel tournant. Et comme cette vitesse est relativement faible... D'autre part, cette force est orthogonale au vecteur vitesse. Le sytème étant contraint à se déplacer le long de la tige, cette force est donc perpendiculaire à la tige. Et comme le raisonnement à mener nécessite de projeter la deuxième loi de Newton selon la direction de la tige, la projection de la force de Coriolis sera nulle.
Résumons : Vous avez bien écrit la force centripète : F = mxw*w
Votre équation écrite dans le référentiel de la tige, donnant ma = Fressort +Fcentripète (avec les vecteurs) est juste.
Vous pouvez alors poursuivre la résolution de l'exercice.
Ou, si vous le voulez, vous pouvez partir du théorème de l'énergie cinétique, en prenant toutefois en compte le travail de la force centripète. Les deux méthodes mènent bien entendu exactement au même résultat.
Tenez moi au courant. Et si vous avez encore des questions, n'hésitez pas à les poser.
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Invité
Re: système masse-ressort
Bonjour,
Il me reste plusieurs questions en suspens mais je voulais d'abord m'assurer que mon résultat est le bon.
Après y avoir usé pas loin d'une rame de papier voici ce que j'ai trouvé qui me parait le plus vraisemblable.
Partant de \(ma=m\omega^2x-K(x-x_e)\), en isolant x je trouve \(x=\frac{ma-kx_e}{m\omega^2-k}\),
alors en posant \(b=\frac{kx_e}{m\omega^2-k}=Cte\) (b a la dimension d'une longueur, honnêtement je ne comprend pas vraiment ce qu'est cette constante si ce n'est qu'elle me permet d'annuler kxe, j'imagine que y est la position du mobile par rapport à son point d'équilibre mais c'est par pur optimisme)
on a \(y=x+b=\frac{ma}{m\omega^2-k}\)
j'en déduis \(\ddot{y}+(\frac{k-m\omega^2}{m})y=0\)
donc la fréquence d'oscillation serait \(\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k-m\omega^2}{m}}\)
Par curiosité, et si le résultat précédant est juste, est ce que c'est exacte que la position y(t) du mobile par rapport à son point d'équilibre est donné par \(y(t)=Asin(\sqrt{\frac{k-m\omega^2}{m}}t)\) avec \(A=\frac{x_e}{\frac{k}{m\omega^2}-1}\)
Merci encore pour votre aide.
Il me reste plusieurs questions en suspens mais je voulais d'abord m'assurer que mon résultat est le bon.
Après y avoir usé pas loin d'une rame de papier voici ce que j'ai trouvé qui me parait le plus vraisemblable.
Partant de \(ma=m\omega^2x-K(x-x_e)\), en isolant x je trouve \(x=\frac{ma-kx_e}{m\omega^2-k}\),
alors en posant \(b=\frac{kx_e}{m\omega^2-k}=Cte\) (b a la dimension d'une longueur, honnêtement je ne comprend pas vraiment ce qu'est cette constante si ce n'est qu'elle me permet d'annuler kxe, j'imagine que y est la position du mobile par rapport à son point d'équilibre mais c'est par pur optimisme)
on a \(y=x+b=\frac{ma}{m\omega^2-k}\)
j'en déduis \(\ddot{y}+(\frac{k-m\omega^2}{m})y=0\)
donc la fréquence d'oscillation serait \(\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k-m\omega^2}{m}}\)
Par curiosité, et si le résultat précédant est juste, est ce que c'est exacte que la position y(t) du mobile par rapport à son point d'équilibre est donné par \(y(t)=Asin(\sqrt{\frac{k-m\omega^2}{m}}t)\) avec \(A=\frac{x_e}{\frac{k}{m\omega^2}-1}\)
Merci encore pour votre aide.
Re: système masse-ressort
Parfait! Cela fait plaisir de vous voir réussir à résoudre un tel exercice!
Votre équation différentielle est juste, la fréquence des oscillations est bonne aussi.
Concernant l'expression de y en fonctiondu temps, elle est juste de façon générale, étant donné que l'on n'a pas de quoi ici calculer la phase à l'origine des temps. Donc un sin ou un cos font tout aussi bien l'affaire.
Vous pouvez toujours essayer de retrouver l'équation différentielle à partir de l'énergie, histoire d'utiliser une deuxième ramette de papier.
Revenez sur le forum aussi souvent que vous le souhaitez, ce sera toujours avec plaisir que nous vous répondrons.
Votre équation différentielle est juste, la fréquence des oscillations est bonne aussi.
Concernant l'expression de y en fonctiondu temps, elle est juste de façon générale, étant donné que l'on n'a pas de quoi ici calculer la phase à l'origine des temps. Donc un sin ou un cos font tout aussi bien l'affaire.
Vous pouvez toujours essayer de retrouver l'équation différentielle à partir de l'énergie, histoire d'utiliser une deuxième ramette de papier.
Revenez sur le forum aussi souvent que vous le souhaitez, ce sera toujours avec plaisir que nous vous répondrons.
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Invité
Re: système masse-ressort
Ça m'a fait bien plaisir aussi d'avoir pu compter sur votre aide pour arriver jusque là.
Je ne suis pas sur que c'est ce que vous aviez en tête concernant l'approche par l'énergie mais je retrouve l'équation de départ en posant \(\frac{d(\frac{1}{2}mv^2)}{dt}=mx\omega^2\frac{dx}{dt}-k(x-x_e)\frac{dx}{dt}\)
ce qui me ramène après simplifications au résultat précédant, mais sauf erreur on retrouve le même résultat en utilisant les énergies cinétiques de translation et rotation partant du référentiel galiléen avec \(E_k=\frac{1}{2}mx^2\omega^2+\frac{1}{2}mv^2\), tout ce passe comme si la puissance de la pseudoforce est en fait la dérivée de l'énergie cinétique de rotation. Si vous avez un commentaire à faire à ce sujet c'est bienvenu.
Sinon au point ou j'en suis j'ai bien l'intention de tenter l'approche par coordonnées polaire mais ça risque de me prendre quelques jours car je suis un peu à cours de temps en ce moment.
Est ce que je pars sur la bonne piste en cherchant à dériver les vecteurs unitaires et ainsi définir toutes les grandeurs en fonction de theta ?
Bonne journée
Je ne suis pas sur que c'est ce que vous aviez en tête concernant l'approche par l'énergie mais je retrouve l'équation de départ en posant \(\frac{d(\frac{1}{2}mv^2)}{dt}=mx\omega^2\frac{dx}{dt}-k(x-x_e)\frac{dx}{dt}\)
ce qui me ramène après simplifications au résultat précédant, mais sauf erreur on retrouve le même résultat en utilisant les énergies cinétiques de translation et rotation partant du référentiel galiléen avec \(E_k=\frac{1}{2}mx^2\omega^2+\frac{1}{2}mv^2\), tout ce passe comme si la puissance de la pseudoforce est en fait la dérivée de l'énergie cinétique de rotation. Si vous avez un commentaire à faire à ce sujet c'est bienvenu.
Sinon au point ou j'en suis j'ai bien l'intention de tenter l'approche par coordonnées polaire mais ça risque de me prendre quelques jours car je suis un peu à cours de temps en ce moment.
Est ce que je pars sur la bonne piste en cherchant à dériver les vecteurs unitaires et ainsi définir toutes les grandeurs en fonction de theta ?
Bonne journée
Re: système masse-ressort
Votre travail sur l'énergie est juste.
Effectivement, votre commentaire est bon. Vous aurez l'occasion de voir d'autres théorèmes qui permettent d'écrire l'énergie cinétique d'un système par rapport à un référentiel, lui même en mouvement par rapport à un autre référentiel, dès l'année prochaine.
Concernant les coordonnées polaires, là encore, vous avez la bonne méthode.
Après avoir écrit F=ma en vecteur, il faut écrire le vecteur à en coordonnées polaires.
Partir pour cela du vecteur position dans le répère tournant, puis dériver pour avoir la vitesse puis l'accélération. Et comme vous le faites remarquer, les vecteurs unitaires de cerepère n'étant pas fixes par rapport au temps, il faudra aussi les dériver.
Ce n'est qu'à la fin, quand vous aurez obtenu le vecteur accélération, que vous simplifierez ce vecteur en distant que la vitesse de rotation est constante.
Bon courage. Si je n'ai pas été assez clair, n'hésitez pas à m'en faire part.
Effectivement, votre commentaire est bon. Vous aurez l'occasion de voir d'autres théorèmes qui permettent d'écrire l'énergie cinétique d'un système par rapport à un référentiel, lui même en mouvement par rapport à un autre référentiel, dès l'année prochaine.
Concernant les coordonnées polaires, là encore, vous avez la bonne méthode.
Après avoir écrit F=ma en vecteur, il faut écrire le vecteur à en coordonnées polaires.
Partir pour cela du vecteur position dans le répère tournant, puis dériver pour avoir la vitesse puis l'accélération. Et comme vous le faites remarquer, les vecteurs unitaires de cerepère n'étant pas fixes par rapport au temps, il faudra aussi les dériver.
Ce n'est qu'à la fin, quand vous aurez obtenu le vecteur accélération, que vous simplifierez ce vecteur en distant que la vitesse de rotation est constante.
Bon courage. Si je n'ai pas été assez clair, n'hésitez pas à m'en faire part.