bol en rotation
Posté : lun. 16 mars 2009 16:37
Bonjour,
pourriez-vous me dire si ma résolution du problème suivant est correcte?
Voici l'énoncé du problème:
Un bol de profil \(f(r)=\frac{1}{a^{2}}r^{3}\) tourne sur lui même avec une vitesse angulaire constante W. A l'intérieur du bol se trouve une boule de masse m.
A quelle hauteur du fond du bol la boule se stabilise-t-elle?
On considère qu'il n'y a pas de frottement entre la boule et le bol
a= 1 cm , W= 60 [s^-1]
D'abord une petite question d'ordre générale: si il n'y a aucun frottement entre la boule et le bol, il n'y a aucune interaction entre les deux et la boule devrait rester sagement au fond du bol sans "ressentir" W , elle ne montera donc nulle part et la réponse serait H=0. est ce que ce raisonnement est faux?
Sinon en considérant que la boule se déplace "sur une ligne" de la paroi du bol, et donc avec la même vitesse angulaire que lui, je trouve la résolution suivante:
soit \(\theta\), l'angle formé par la tangente à la courbe et l'horizontale, alors \(\frac{dh}{dr}=tan\theta\) donc \(\theta(r)=arctan\frac{3r^2}{a^{2}\) \(\Longrightarrow\) \(a^2sin\theta=3r^2cos\theta\) \(\Longrightarrow\) \(cos\theta=\frac{a^2sin\theta}{3r^2}\)
puisque \(F_n=mg+mW^2r\)
à l'équilibre on a
\(F_ncos\theta=mg\)
\(F_nsin\theta=mW^2r\)
à l'équilibre: \(r_e(W)=\frac{W^2a^2}{3g}\)
donc \(h(r_e)=\frac{1}{a^2}(\frac{W^2a^2}{3g})^3\)
\(h(r_e)=\frac{W^6a^4}{27g^3}\)
Avec a= 0.01m et W=60 rad\s je trouve h= 1,8[cm]
est ce que le raisonnement est juste?
Merci d'avance
Oscar
pourriez-vous me dire si ma résolution du problème suivant est correcte?
Voici l'énoncé du problème:
Un bol de profil \(f(r)=\frac{1}{a^{2}}r^{3}\) tourne sur lui même avec une vitesse angulaire constante W. A l'intérieur du bol se trouve une boule de masse m.
A quelle hauteur du fond du bol la boule se stabilise-t-elle?
On considère qu'il n'y a pas de frottement entre la boule et le bol
a= 1 cm , W= 60 [s^-1]
D'abord une petite question d'ordre générale: si il n'y a aucun frottement entre la boule et le bol, il n'y a aucune interaction entre les deux et la boule devrait rester sagement au fond du bol sans "ressentir" W , elle ne montera donc nulle part et la réponse serait H=0. est ce que ce raisonnement est faux?
Sinon en considérant que la boule se déplace "sur une ligne" de la paroi du bol, et donc avec la même vitesse angulaire que lui, je trouve la résolution suivante:
soit \(\theta\), l'angle formé par la tangente à la courbe et l'horizontale, alors \(\frac{dh}{dr}=tan\theta\) donc \(\theta(r)=arctan\frac{3r^2}{a^{2}\) \(\Longrightarrow\) \(a^2sin\theta=3r^2cos\theta\) \(\Longrightarrow\) \(cos\theta=\frac{a^2sin\theta}{3r^2}\)
puisque \(F_n=mg+mW^2r\)
à l'équilibre on a
\(F_ncos\theta=mg\)
\(F_nsin\theta=mW^2r\)
à l'équilibre: \(r_e(W)=\frac{W^2a^2}{3g}\)
donc \(h(r_e)=\frac{1}{a^2}(\frac{W^2a^2}{3g})^3\)
\(h(r_e)=\frac{W^6a^4}{27g^3}\)
Avec a= 0.01m et W=60 rad\s je trouve h= 1,8[cm]
est ce que le raisonnement est juste?
Merci d'avance
Oscar