bol en rotation

[Invité]

Bonjour,
pourriez-vous me dire si ma résolution du problème suivant est correcte?

Voici l'énoncé du problème:
Un bol de profil \(f(r)=\frac{1}{a^{2}}r^{3}\) tourne sur lui même avec une vitesse angulaire constante W. A l'intérieur du bol se trouve une boule de masse m.
A quelle hauteur du fond du bol la boule se stabilise-t-elle?
On considère qu'il n'y a pas de frottement entre la boule et le bol
a= 1 cm , W= 60 [s^-1]

D'abord une petite question d'ordre générale: si il n'y a aucun frottement entre la boule et le bol, il n'y a aucune interaction entre les deux et la boule devrait rester sagement au fond du bol sans "ressentir" W , elle ne montera donc nulle part et la réponse serait H=0. est ce que ce raisonnement est faux?

Sinon en considérant que la boule se déplace "sur une ligne" de la paroi du bol, et donc avec la même vitesse angulaire que lui, je trouve la résolution suivante:

soit \(\theta\), l'angle formé par la tangente à la courbe et l'horizontale, alors \(\frac{dh}{dr}=tan\theta\) donc \(\theta(r)=arctan\frac{3r^2}{a^{2}\) \(\Longrightarrow\) \(a^2sin\theta=3r^2cos\theta\) \(\Longrightarrow\) \(cos\theta=\frac{a^2sin\theta}{3r^2}\)

puisque \(F_n=mg+mW^2r\)
à l'équilibre on a

\(F_ncos\theta=mg\)
\(F_nsin\theta=mW^2r\)

à l'équilibre: \(r_e(W)=\frac{W^2a^2}{3g}\)

donc \(h(r_e)=\frac{1}{a^2}(\frac{W^2a^2}{3g})^3\)

\(h(r_e)=\frac{W^6a^4}{27g^3}\)
Avec a= 0.01m et W=60 rad\s je trouve h= 1,8[cm]

est ce que le raisonnement est juste?

Merci d'avance
Oscar

[SoS(2)]

Bonjour,

Votre résolution du problème est tout à fait correcte. En ce qui concerne votre remarque "d'ordre général", il est vrai que si la bille était parfaitement au fond du bol elle y resterait (frottement ou pas, d'ailleurs) mais en réalité, rien n'est parfait et il suffit d'un écart microscopique pour que l'étude prenne son sens et que cet écart aille jusqu'à la position calculée. C'est un équilibre instable.

Attention, W est en \(rad.s^{-1}\)

[Invité]

mille merci pour la réponse et pour ce formidable site.

Oscar