Equation différentielle (mécanique)

[Manon (TS)]

Bonjour,

Je suis bloquée pour la forme d'une équation différentielle, pouvez vous m'aidez?
L'énoncé est le suivant:

On laisse tomber sans vitesse initiale un objet de masse m et de volume V dans un fluide de masse volumique. On suppose que la force de frottement fluide est en kv².L'axe vertical ascendant est l'axe (Oy). Déterminer l'equation différentielle qui régit l'évolution de la vitesse au cours du temps.

Voilà mon problème: j'ai trouvé l'équation différentielle suivante:

dv/dt=-(k/m)v²+(g/m)(m-mfluide). Une équation qui est de la forme dv/dt=A*v²+B

Or ce qui me gêne c'est que dans mon cours on a trouvé une équation de type dv/dt=A*v+B (il n'y a pas le carré)
Ceci est-il dû à la valeur de la force de frottement qui est égale à kv² ici? alors que dans mon cours on avait pris f=kv

Ma question est: est-ce que quand on me demande d'établir une équation différentielle, elle doit obligatoirement être de la forme Av+B? Si non, mon équation trouvée est elle juste?

Merci de me répondre.

[SoS(5)]

Bonjour Manon,

Rassurez vous, votre équation est correcte et vous savez pourquoi elle diffère de celle de votre cours ! Vous me semblez parfaitement armée pour affronter une question de ce type.

Bon courage et à bientôt sur le forum.

[Manon (TS)]

Merci de votre réponse, cela me rassure. Par contre je n'arrive pas à répondre à d'autres questions qui suivent cette question sur l'équation différentielle.

1.On note vi la valeur de la vitesse à la date ti, ai la valeur de l’accélération à la date ti et vi+1 la
valeur de la vitesse à la date ti+1 = ti + ∆t.
Donner une relation entre vi+1, vi, ai et ∆t.
Exprimer ai en fonction de vi, k, m. (cf. question précédente).

Ma réponse: v(ti+1)=v(ti)*∆t,
pour ai d'après l'équation différentielle précédente dv/dt=-(k/m)v²+(g/m)(m-mfluide), on a
ai=(-k/m)vi²+(g/m)(m-mfluide)

2.La masse de l’objet (cf. question 6) est m = 5 g, son volume V = 3 mL, la masse volumique du
fluide est ρ = 1 kg.L – 1 et le coefficient k = 0,35 S.I.
Calculer v1et a1 par la méthode d’Euler. (On prendra g = 10 m.s – 2 et ∆t = 0,010 s).

Ma réponse: Il faut utiliser les conditions initiales (t=0)
mg-Vfluide*g-k*v0²=m*a0
or à t=0 v0=O m/s d'après l'énoncé
donc m*a0=mg-Vfluide*g
en simplifiant les m, on a a0=g-Vfluide*g=9,97 m/s² (en ayant bien fait attention aux unités de V)
Je suis bloqué après...

3.Lors d’une chute libre le mouvement dépend-il de la masse de l’objet ? Non mais je n'arrive pas à justifier...

4. On lâche un objet avec une vitesse initiale (de vecteur vitesse v0) qui fait un angle α avec l’horizontale. L’axe vertical
ascendant est l’axe (Oy) et l’axe horizontal est (Ox). On néglige toutes les forces dues à l’air.
Faire un schéma puis établir les équations horaires du mouvement.

Je ne comprends pas ce que fait l'axe (Oy) ici, l'axe vertical n'est-il pas l'axe (Oz)? Pourriez vous m'aider à faire le schema?

5.Donner les caractéristiques du vecteur accélération lors d’un mouvement circulaire uniforme.
En appliquant la deuxième loi de Newton déterminer la valeur de la vitesse d’un satellite en
fonction, entre autres, de son altitude h et du rayon R de la Terre.

pour les caractéristiques: point d'application: ?
direction: vers le centre
sens: ?
valeur= a=v²/R

[SoS(5)]

1.On note vi la valeur de la vitesse à la date ti, ai la valeur de l’accélération à la date ti et vi+1 la
valeur de la vitesse à la date ti+1 = ti + ∆t.
Donner une relation entre vi+1, vi, ai et ∆t.
Exprimer ai en fonction de vi, k, m. (cf. question précédente).

Ma réponse: v(ti+1)=v(ti)*∆t,
pour ai d'après l'équation différentielle précédente dv/dt=-(k/m)v²+(g/m)(m-mfluide), on a
ai=(-k/m)vi²+(g/m)(m-mfluide)

OK pour ai, je ne suis pas d'accord avec v(ti+1)...

Je suis d'accord avec vous sur le principe pour a(t=0), (je n'ai pas repris l'application numérique.) il faut creuser pour l'expression de v(ti+1)

3.Lors d’une chute libre le mouvement dépend-il de la masse de l’objet ? Non mais je n'arrive pas à justifier...

Faites le bilan de la force qui s'exerce sur le mobile, appliquez la seconde loi de Newton et ....

Pour la question 4 : Faites effectivement un schéma, le repère est le même que celui de maths ( l'axe des x est horizontal orienté vers la droite, celui des y est vertical orienté vers le haut). Faites le bilan des forces qui s'exercent sur le mobile, appliquez la seconde loi de Newton et ....

Pour la question 5 : Faites le bilan des forces qui s'exercent sur le mobile, appliquez la seconde loi de Newton et ....


Aidez vous des indications données puis revenez vers nous avec vos propositions !

[Manon (TS)]

1)Ah oui j'ai oublié ai pour l'expression de v(ti+1), v(ti+1)=v(ti)+ai*∆t

3)

3.Lors d’une chute libre le mouvement dépend-il de la masse de l’objet ? Non mais je n'arrive pas à justifier... Faites le bilan de la force qui s'exerce sur le mobile, appliquez la seconde loi de Newton et ....

Je l'ai fais, mais je n'arrive pas à avancer.
Bilan des forces: le poids p, la poussée d'archimede pi et la force de frottement f

D'après la seconde loi de newton, après projection:
mg-mfluide*g-kv²=m*a
g(m-mfluide)-kv²=m*a
a=-(k/m)v²+(g/m)(m-mfluide)

Pour la question 4 : Faites effectivement un schéma, le repère est le même que celui de maths ( l'axe des x est horizontal orienté vers la droite, celui des y est vertical orienté vers le haut). Faites le bilan des forces qui s'exercent sur le mobile, appliquez la seconde loi de Newton et ....

Mais dans ce cas pourquoi dans mon cours, c'est l'axe (Oz) qui est vertical ?

[SoS(5)]

je suis d'accord avec vous pour v(i+1) maintenant. v(t=0) est 0 ( sans vitesse initiale) vous pouvez donc calculer v(t=∆t)

Pour la 4 : C'est une CHUTE LIBRE, il n'y a donc qu'une force , le poids ...

Pour les axes : On fait ce que l'on veut, et c'est sans incidence sur le mouvement du mobile ! Croyez vous que le projectile regarde le sens et le nom des axes pour savoir "ce qu'il va faire " ?

A bientôt pour la chute libre !

[Manon (TS)]

Ca y 'est pour la chûte libre, enfin! Merci, c'est juste que c'était nouveau pour moi l'axe (Oy)

D'apres 2nde loi de Newton, on a
Efext=m*a (je sais pas comment faire le vecteur)
P=ma
g(vecteur)=a(vecteur)
g(vecteur)=-g*vecteur j (j'ai pris j comme vecteur unitaire pour l'axe Oy)
Donc gx=0 et gy=-g

Puisque vecteur a= vecteur g
ax=0 et ay=-g

On sait que le vecteur accélération a est la derivée de v.
donc pour trouver v(t) on cherche la primitive de a
vx=constante=Vox=V0*cos(alpha)
vy=-gt+cste=-gt+Vo*sin(alpha)

On sait que le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position OG
donc la position OG est la primitive de la vitesse.
x(t)=Vocos(alpha)t+cste (où cste=x(0))
y(t)=-1/2 gt²+ Vosin(alpha)t+ cste (où cste=y(0))

Or à t=0, G est en 0 donc x(0)=0 et y(0)=0
et donc les équations horaires sont:
x(t)=Vocos(alpha)t
y(t)=-1/2 gt²+ V0sin(alpha)t

[SoS(5)]

Tout ceci me semble parfait. Prenez bien le temps de lire l'énoncé . le mot libre est très important ici.
Vous pouvez donc conclure que le mouvement ne dépend pas de la masse dans ce cas !

Bon courage et à bientôt sur le forum!

[Manon (TS)]

Merci beaucoups de votre aide !

Mais la question "lors d'une chute libre le mouvement depend il de la masse de l'objet" nécessite-t-elle de faire tous ces calculs? Car les équations horaires étaient la question suivante. Ne doit-on pas justifier par une simple phrase?

je suis d'accord avec vous pour v(i+1) maintenant. v(t=0) est 0 ( sans vitesse initiale) vous pouvez donc calculer v(t=∆t

Par ailleurs

Il faut utiliser les conditions initiales (t=0)
mg-Vfluide*g-k*v0²=m*a0
or à t=0 v0=O m/s d'après l'énoncé
donc m*a0=mg-Vfluide*g
en simplifiant les m, on a a0=g-Vfluide*g=9,97 m/s² (en ayant bien fait attention aux unités de V)

Par ailleurs, j'ai calculé v(t=∆t)=v(0)+a0*∆t=0,0997 m/s car v(0)=0m/s
puis d'après la relation trouvée précédemment v(ti+1), v(ti+1)=v(ti)+ai*∆t
On a (v(ti+1)-v(ti))/∆t=ai
donc (v(t=∆t)-v(0))/*∆t=ai
et puisque v(0)=O m/s
ai=v(t=*∆t)/∆t=9,97 m/s²

pour vi:

ai=(-k/m)vi²+(g/m)(m-mfluide)

vi²=-(ai-g(m-mfluide))/k
donc vi= racine carré de tout ça

est-ce juste?

Pour la dernière question

5.Donner les caractéristiques du vecteur accélération lors d’un mouvement circulaire uniforme.
En appliquant la deuxième loi de Newton déterminer la valeur de la vitesse d’un satellite en
fonction, entre autres, de son altitude h et du rayon R de la Terre.

pour les caractéristiques: point d'application: ?
direction: vers le centre
sens: ?
valeur= a=v²/R

Je n'arrive même pas à faire le bilan des forces

[Manon(Ts)]

Désolée je viens de me rendre compte d'une erreur impardonnable! Une vitesse avec un moins ...

[SoS(5)]

Pour la chute libre : il suffit de montrer comme vous l'avez fait que l'accélération est indépendante de la masse....

la méthode d'Euler : vous savez v(0)=O m/s et a(0)=9,97 m/s²
v(t=∆t)=v(0)+a0*∆t=0,0997 m/s car v(0)=0m/s
a(t=∆t)(-k/m)v(t=∆t)²+(g/m)(m-mfluide)

alors v(t=2∆t)=v(∆t)+a(t=∆t)*∆t
et ainsi de suite .....

Pour la 5 : a=V²/R car le mouvement est uniforme ( on travaille dans le repère de Frenet)

Le satellite est soumis à la force gravitationnelle , faites le bilan de la force, puis appliquez la seconde loi de newton , on accède alors à l'accélèration qui est éagel à v²/R

Bon courage et à bientôt sur le forum !

[Manon (TS)]

Je comprends pas. C'est pas v1 et a1 qu'on cherche? on doit prendre ti=∆t ? C'est trop dur ...

[SoS(11)]

Bonsoir,

D'après l'énoncé c'est en effet v1 et a1 que vous cherchez.
Cependant la méthode d'euler permet si on connait la première valeur de vitesse de retrouver toutes les autres vitesses en incrémentant de ∆t. Même chose pour l'accélération.

Pour votre deuxième remarque la première valeur est v(to) = v(0) = 0m/S
La deuxième valeur v(t1) = v(to + ∆t) comme to = 0s v(t1) = v(∆t)
La valeur suivante v(t2) = v(t1 + ∆t) comme t1 = ∆t v(t2) = v(∆t + ∆t)

Et ainsi de suite..

En espérant avoir répondu à votre question. N'hésitez pas à revenir

[Manon (TS)]

Mais comment je fais apparaître le v1?

[Manon (TS)]

Est-ce que v1 c'est v(t1) ? c'est juste ça que j'arrive pas à comprendre