circuit RLC

[Jade S]

Bonjour ,
j'ai un problème avec un exercice sur le circuit RLC
Voici tout d'abord le sujet puis le début de ma réflexion
On considère le montage suivant C=5 uF , R variable.
Le condensateur étant préalablement chargé avec q=Q0, on ferme l'interrupteur K.
1) Etablir l'équation différencielle que vérifie la charge q
2) Quelle valeur de R conduit à une solution sinusoidale pour q? Quelle est alors la période de ces oscillations sinusoidales?
3) On visualise la tension uc aux bornes du condensateur à l'oscilloscope. Représenter qualitativement l'allule des oscillogrammes obtenus lorque R est nulle, faible ou très grande.
4) Exprimer l'énergie enmmagasinée dans le condensateur et la bobine à une date t donnée.
5) Que vaut alors d Emag/ dt
6) en tenant compte de la relation établie à la question 1 exprimer dEmag/ dt en fonction de dq/dt puis de i.
Interpréter alors le bilan énergétique ainsi obtenu..
Voilà, selon moi cet exercice est super compliqué et j'ai beaucoup de mal à le résoudre.

1) j'ai trouvé que q(t)=Cuc(t)..... puis au final =C Um cos ( (2 π /To) + Y)
mais la je ne sais pas si c'est ça qui est attendu..

2) je trouve que R=0 pour avoir des oscillations sinusoidales non amorties et une période de T= 2π racine LC

3) j'ai représenté trois oscillogrammes avec Rt nulle des oscillations sinusoidales, Rt faible des oscillations libres amorties, Rt élevée pas d'oscillation.

4) Emag= 1/2 Cuc^2 (t) + 1/2 Li^2 (t)

Je ne sais pas si j'ai bon jusque là , la suite je ne vois pas comment faire..
Merci de m'aider .

[SoS(26)]

bonjour
Nous allons reprendre à la question 1
l'équation différentielle provient de la loi des mailles.
exprimez uR uc et uL pour commencer
Vous devriez avoir aussi la valeur de l'inductance.

[Jade]

Bonjour merci de me répondre, d'accord alors
Loi des mailles on a uc + ul + ur =0

uc = q/c ul= L di/dt + ri et ur= RI
donc q= Cuc
et dq/dt = C duc/dt

[SoS(26)]

oui, c'est bien cela.
Quelle est l'équation différentielle que vous obtenez ainsi ?
Puis répondez à la question 2

[Jade]

Je ne sais pas vraiment comment procéder à partir de ça pour établier l'équation ..
2° Pour R nulle on obtient une solution sinusoidale pour q et la période égale à 2pi racine de LC

[SoS(26)]

pourtant vous avez fait l'essentiel.

Loi des mailles on a uc + ul + ur =0
uc = q/c ul= L .di/dt + ri et ur= R.i
donc q= C.uc
et dq/dt = C duc/dt

Il vous reste à combiner tout cela :
Remplacer uc par sa relation avec q,
puis uR par sa relation avec i puis avec q
puis ul par sa relation avec i puis avec q

[Jade]

je remplace donc
Uc= q/c
uL= L di/dt+ ri or r =0 d'où uL= di/dt= dq^2/dt
Ur= Ri= R dq/dt

et ensuite je dois sortir q?

[SoS(26)]

Uc= q/c
uL= L di/dt+ ri or r =0 d'où uL= di/dt= dq^2/dt
Ur= Ri= R dq/dt

une équation différentielle est une équation liant une fonction avec ses dérivée.
La fonction ici considérée est q( en fait q est une fonction du temps : q(t) que l'on note plus simplement q)
remplacez maintenant dans la loi des mailles et vous aurez l'équation différentielle

[jade]

uc + uL + ur= 0
q/c + L (di/dt) + ri + Ri = 0
q/c + L (dq^2/dt) +r (dq/dt) + R (dq/dt) =0
q/c + L (dq^2/dt) + (r+R) dq/dt
q= - L/c ( dq^2/dt) + (R+r)/c dq/dt

[SoS(26)]

uc + uL + ur= 0
q/c + L (di/dt) + ri + Ri = 0
q/c + L (dq^2/dt) +r (dq/dt) + R (dq/dt) =0
q/c + L (dq^2/dt2) + (r+R) dq/dt =0

voilà avec les ajustements, l'équation différentielle ( du 2e ordre à coefficient constant)

[SoS(26)]

2) Quelle valeur de R conduit à une solution sinusoidale pour q? Quelle est alors la période de ces oscillations sinusoidales?

Oui c'est exact. La résistance est le dipole qui dissipe l'énergie sous forme de chaleur ( effet Joule).
Sans résistance, l'énergie se conserve.

3) On visualise la tension uc aux bornes du condensateur à l'oscilloscope. Représenter qualitativement l'allule des oscillogrammes obtenus lorque R est nulle, faible ou très grande.
3) j'ai représenté trois oscillogrammes avec Rt nulle des oscillations sinusoidales, Rt faible des oscillations libres amorties, Rt élevée pas d'oscillation.

C'est cela.

4) Exprimer l'énergie enmmagasinée dans le condensateur et la bobine à une date t donnée.

4) Emag= 1/2 Cuc^2 (t) + 1/2 Li^2 (t)

cela parait correct.
J'attends la suite pour vous aider.

[Jade]

donc la il faut dériver cette égalité en fonction du temps?

[SoS(17)]

Bonjour Jade,
Oui, il va bien falloir dériver cette expression.