SOS physique-chimie

Une bouteille vide de 1 Litre pesant 200gr est lachée au fond d une piscine de 4m
quelle est la vitesse limite atteinte en tenant compte de la force de frottement dans l eau f=Kv2

Tout d'abord, bonjour jeune homme.
Votre sujet est intéressant.
Comment avez vous démarré votre raisonnement ?

Bonsoir,
Ce sujet semble avoir été laissé tomber...
Cependant je voudrais bien m'entraîner sur ce problème. Pourriez-vous m'aider?
Le système étudié est la bouteille d'eau, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Conditions initiales: V(t=os)=0m.s-1, z(t=0s)=0m (en prenant le fond de la piscine comme origine des altitudes, on changera cette valeur en -4 si nécessaire).
Les forces auxquelles est soumise la bouteille sont: son poids P, la poussée d'archimède π les forces de frottements f. (Je note les vecteurs en gras ici).
D'après la 2nde loi de Newton, ΣF(ext) = π + f + P = ma
D'où en orientant mon axe vers le haut (problème à une dimension) : π - f - P = ma,
i.e: ρ (eau) V g - K v² - mg = ma (V:volume bouteille, v: vitesse bouteille)
i.e: ρ (eau) V g - K v² - mg = m (dv/dt) (l'accélération est la dérivée de la vitesse)
donc : dv/dt = ((ρ (eau) V g - K v²)/m) - g
On doit résoudre cette équation différentielle suivie par la vitesse de la bouteille.
Soient α = K/m et β = ((ρ (eau) V g)/m) - g , on veut donc résoudre: dv/dt = αv² - β.
Je ne sais pas comment m'y prendre... Peut-être m'y suis-je mal prise?
Merci d'avance pour votre aide!

Bonsoir Laure,

Vous êtes bien partie (avec une petite erreur de signe entre α = K/m et dv/dt = αv² - β).

Mais vous vous engagez sur une voie bien trop compliquée (la résolution de l'équation différentielle, pas simple du tout), alors que la solution est beaucoup plus facile. Je vous rappelle que vous cherchez une vitesse limite ... ce qui a pour conséquence dans votre équation ρ (eau) V g - K v² - mg = m (dv/dt) ... Je vous laisse méditer.

En restant à votre disposition.

Merci beaucoup!
Bien sûr!
Cette relation est vraie quel que soit t, en particulier lorsque t est tel que v(t)=vlim. A partir de ce moment là la vitesse est constante, donc l'accélération est nulle. D'où:
dv/dt = 0 = Vg - K(vlim)² - mg, ce qui équivaut à g(V-m) = K(vlim)²
i.e. (vlim)² = (g/K) (V-m)
i.e. vlim = racine carrée du membre de droite de l'égalité ci-dessus.
Application numérique : vlim = racine carrée((9,8/K)(1000-0,2))
soit environ: racine carrée(9798/K) m.s-1.
i.e. 99/racine de k.
Me suis-je trompée dans le raisonnement ou dans les calculs?
Merci encore!

Le raisonnement est le bon, mais une petite erreur dans les calculs : vous avez oublié ρ (eau), ce qui se voit car vous avez dans vos calculs un (V-m) impossible (on ne retranche pas une masse d'un volume !)

Sinon, c'est bon.

Remarque : la profondeur de la piscine ne nous est d'aucune utilité !

zut, en effet j'ai oublié la masse volumique de l'eau.
La profondeur de la piscine ne nous sert effectivement pas dans cette question... peut-être l'exercice était-il plus long?
Merci infiniment pour votre aide!
Bonne soirée!