Chute vertical et résolution équation différentielle

[Fabien TS]

Bonsoir tout le monde,

J'ai un léger problème sur un exercice concernant les chutes verticales avec frottements; en effet, j'ai établit que l'équation différentielle de la vitesse d'une bille (sur un axe vertical Oy orienté vers le bas) vaut: dvy/dt = g(1 - (masse volumique eau/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille))*vy(t)

Or à la question suivante on me demande de vérifier que l'équation différentielle admet des solutions de la forme vy(t) = vlimite + Cxe(-Bt).

Mais le problème est que je n'y arrive pas à le résoudre si vous pouvez m'aider merci bien :D

Bon week-end et bonne soirée

[SoS(8)]

Bonsoir tout le monde,

J'ai un léger problème sur un exercice concernant les chutes verticales avec frottements; en effet, j'ai établit que l'équation différentielle de la vitesse d'une bille (sur un axe vertical Oy orienté vers le bas) vaut: dvy/dt = g(1 - (masse volumique eau/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille))*vy(t)

Or à la question suivante on me demande de vérifier que l'équation différentielle admet des solutions de la forme vy(t) = vlimite + Cxe(-Bt).

Mais le problème est que je n'y arrive pas à le résoudre si vous pouvez m'aider merci bien :D

Bon week-end et bonne soirée

Bonsoir Fabien,

N'ayant pas l'énoncé complet je vais néanmoins essayer de vous aider: effectivement, par application de la 2ème loi de Newton et en considérant que la bille est soumise à 3 forces : son poids, la poussée d'archimède et une force de frottement fluide, on trouve une équation différentielle mettant en jeu les variable de la vitesse et de sa dérivée. La résolution de cette équa dif n'est pas au programme de TS mais on peut vous demander de vérifier qu'une solution particulière est solution de l'équa dif, ce qui a l'air d'être le cas ici. Dans ce cas vous devez calculer la dérivée dvy/dt grâce à la solution que l'on vous donne (remarquez bien que vlimite est une constante et que sa dérivée est par conséquent nulle, donc seul le terme fonction du temps t a une dérivée non nulle...). Une fois cette équation obtenue, vous remplacez dvy/dt par la valeur que vous venez de trouver dans l'équa dif et vous résolvez, en général ça se passe plutôt bien.
J'espère vous avoir aidé dans votre démarche, sinon n'hésitez pas à revenir...

[Fabien TS]

Merci encore SoS(8). Alors j'ai essayé de faire quelque chose grâce à vos pistes extras j'espère que c'est juste:
dvy/dt = -B x C x e(-Bt)
En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient:
-B x C x e(-Bt) = g(1 - (masse volumique eau/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille))*vy(t)
A partir de là je ne vois pas comment je peux trouver, résoudre l'équation :(

Merci encore

[SoS(8)]

Merci encore SoS(8). Alors j'ai essayé de faire quelque chose grâce à vos pistes extras j'espère que c'est juste:
dvy/dt = -B x C x e(-Bt)
En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient:
-B x C x e(-Bt) = g(1 - (masse volumique eau/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille))*vy(t)
A partir de là je ne vois pas comment je peux trouver, résoudre l'équation :(

Merci encore

Bien, je pense que vous êtes sur la bonne voie... Néanmoins vous oubliez de remplacer vy par sa valeur : vy = vlimite - Ce(-Bt) ! faites le donc, vous aurez ainsi 2 équations en fait car vous devrez égaliser les termes en exponentielles et les termes ne comportant pas l'exponentielle... et vous pourrez en principe déterminer les constantes B et C par exemple (si cela est demandé)... Bon courage.

[Fabien TS]

Ah oui oublié de remplacer vy(t) excusez moi de mon "idiotie" sinon à part cette erreur c'était juste pour vous dire que la question se porte sur une vérification et il ne me demande pas de rechercher B (mais pour C oui ils me le demanderont mais c'est pour la prochaine question). Donc je ne vois pas trop comment vérifier avec votre démarche (c'est surêment parce que j'ai mal compris).

Merci encore et navré de vous déranger comme cela.

[SoS(8)]

Ah oui oublié de remplacer vy(t) excusez moi de mon "idiotie" sinon à part cette erreur c'était juste pour vous dire que la question se porte sur une vérification et il ne me demande pas de rechercher B (mais pour C oui ils me le demanderont mais c'est pour la prochaine question). Donc je ne vois pas trop comment vérifier avec votre démarche (c'est surêment parce que j'ai mal compris).

Merci encore et navré de vous déranger comme cela.

Comme je vous l'ai dit précédemment, par analogie, vous aurez deux équations, une première sur les termes ne comportant pas d'exponentielle (vous devrez "égaliser" la partie gauche du signe égal avec la droite) et une deuxième qui sont en fait les coefficients de l'exponentielle. A ce niveau vous avez fait la vérification puisque la solution "vérifie" l'équa dif.
Ensuite il vous faudra trouver les constantes...
Bon courage et n'hésitez pas à revenir en cas de problème...

[Fabien TS]

Merci à vous c'est bon j'ai trouvé grâce à vous :D

Bon dimanche :D

[SoS(8)]

Merci à vous c'est bon j'ai trouvé grâce à vous :D

Bon dimanche :D

Ce fut un plaisir... bon dimanche à vous aussi et à bientôt sur le forum.