Application des lois de Newton et de Kepler

[Marie S]

Bonjour, voici l'exercice qui me pose problème :

Pour un saut en longueur la voiture démarre de A, puis accélère pour atteindre une vitesse maximale en B sur une piste rectiligne (de A à B). Elle accède à un tremplin de lancement (BC) qui permet de réaliser le saut, et qui fait un angle a (appelé angle de tir) par rapport à l'horizontale. La voiture peut alors attérir sur un tremplin de réception (DE), qui permet une réception moins dangereuse. (le schéma du système est en pièce jointes)
La voiture mesure 4,4m de long. Chaque position successive de Gi du centre d'inertie de la voiture est séparée par un intervalle de temps tau=0,20s.
L'origine des dates t=0s est prise au point B dans le repère (B;x;z) (document en pièce jointe).
Pour simplifier l'étude on considérera que la voiture est en chute libre entre l point B et le point E.

Questions :

1) Quel est le révérenciel d'étude ? Le système étudié ?

2)a) Tracer le vecteur variation de vitesse en G3 (vecteur)deltav3 et en déduire le vecteur accélération en G3 (vecteur)a3.
b)Comparer la norme du vecteur accélération (vecteur)a3 au champ de pesanteur local (vecteur)g0
c)Ecrire les coordonnées (ax et az) du vecteur accélération en fonction de g0.
d)En utilisant la deuxième loi de Newton, retrouver les coordonnées (ax et az) du vecteur accélération.

3)a)Etablir en fonction de v0 et de a les coordonnées (Vox et Voz) de la vitesse (vecteur)v0 à la date t=0.
b)Ecrire les coordonnées (vx et vz) du vecteur vitesse à partir des coordonnées de (vecteur)a
c)Donner les coordonnées (x(t) et z(t)) du vecteur position à partir des coordonnées de (vecteur)v.

Données : Echelle de vitesse : 1cm 10m.s-1
La valeur de l'intensité de la pesanteur est g0 = 9,81m.s-2

Où j'en suis dans mon exercice :

1) référentiel : terrestre
système étudié : la voiture.
2) J'ai calculé les vecteurs vitesses v2 et v4 à l'aide de la figure qui m'était donnée pour en déduire le vecteur deltav3 car deltav3 = v4-v2
J'ai calculé la norme de deltav3 grâce à l'échelle des vitesse et j'ai trouvé qu c'était égal à 5m.s-1 (ça vous paraît cohérent?)
De ce fait j'ai trouvé la norme du vecteur accélération =v3/2
= 5/2*0,20
=12,5 m.s-2
Après je bloque vu que je n'ai pas l'échelle des accélération donc je ne sais pas vraiment comment trouver le vecteur accélération...
b) Je trouve que la norme est plus élevé que le champ de pesanteur local donc je peux en conclure que la voiture est dans un état d'impesanteur?
c) Trou noir à partir de cette question et ce jusqu'à la fin de l'exercice, je sais que le vecteur accélération a pour coordonnés ax = dvx/dt et az = dvz/dt mais je n'arrive pas
à l'appliquer ici... Cette question me bloque pour le reste.

Voilà, désolée pour les "(vecteurs)v" etc mais j'ai un peu de mal avec les fonctions de ce site, cet exercice me pose vraiment problème, merci à celui ou celle qui saura
m'éclairer.

Marie, terminale S en détresse.

[SoS(3)]

Bonjour Marie,
1. TB
2. Il me faudrait vos tracés pour contrôler delta v3.
Par contre a3 est faux : je ne comprends pas pourquoi vous divisez par 2 ? Quant à l'échelle d'accélération, c'est à vous de la fixer.

[Marie S]

Bonsoir, merci beaucoup pour votre réponse, j'ai essayé de prendre en photo mes tracés mais la photocopie étant de très mauvaise qualité on ne voit rien du tout...
Je peux quand même vous donner mes valeurs :
(G1.G3)dessin = 3,7cm
Hors 1,1cm (taille mesurée de la voiture)= 4,4m donc (G1.G3)réalité=14,8m
la norme du vecteur v2 = 14,8/2tau = 14,8/2*0,20 = 37m.s-1
D'après l'échelle de longueur je trouve que 37m.s-1= 3,7cm
Je trace (vecteur)v2
Je suis le même raisonnement pour (vecteur)v4 et je trouve 3,9cm
Je trace (vecteur)v4
Ensuite en partant du (vecteur)v4 je trace -(vecteur v2), je relie à G4 puis je transpose sur G3, ensuite je mesure (vecteur)deltav3= 0,5cm
Donc sa norme = 5m.s-1 (d'après l'échelle de vitesse)
Ensuite je sais que la norme de (vecteur)a3 = deltav3/2tau = 5/2*0,20 = 12,5m.s-1 ?
Comment je peux fixer une échelle d'accélération ?

Merci beaucoup si vous continuez à prendre le temps de m'expliquer !
Marie

[SoS(43)]

Bonjour Marie,
Ce que vous avez fait est correct et pourtant il y a un problème sur la valeur et la direction de votre vecteur accélération. Est-il normal que la valeur de la vitesse augmente de 37m.s-1 à 39 m.s-1 alors que la voiture est en l'air ? Ce n'est pas votre faute mais celle du document. Je m'explique :
Je suppose que vous trouvez un vecteur deltaV dirigé vers le bas et la droite alors qu'il devrait être vertical vers le bas. Ceci est du à la perspective du document, le mouvement n'est pas dans un plan perpendiculaire à l'axe de la caméra. Vous remarquerez que la voiture à gauche de l'image est plus courte que la voiture à droite. Pour corriger l'effet de perspective et obtenir des valeurs plus correctes je vous propose de calculer la vitesse v2 en prenant comme échelle la taille de la voiture en 2 (1,0 cm pour 4,4 m) et de calculer la vitesse v4 en prenant la taille de la voiture en 4 (1,1 cm pour 4,4 m). Vous devriez obtenir deux valeurs de vitesse sensiblement égales et graphiquement un deltaV3 vertical ou presque de 0,4 cm.
Les questions qui suivent auront alors beaucoup plus de sens vous verrez.

[Marie S]

Bonjour,
En effet, la voiture n'a pas la même taille selon la position sur le document, avec votre méthode je trouve un (vecteur)deltav3= 0,4cm et vertical, j'ai calculé la norme de mon vecteur accélération (norme du vecteur deltav3/2tau = 4/2*0,20 = 10 m.s-2), ce qui se rapproche très fortement de g0, cependant je ne sais pas vraiment qu'en conclure...
Pour la c) Les cordonnées du vecteur accélération sont donc ax= 0 et az=-g0 ?
d)Bloquée...

Merci si vous continuez à me répondre
Marie

[SoS(43)]

Question 2b : oui, a = g0 à la précision des mesures près.
Question 2c : oui
Question 2d : c'est une question de cours. La deuxième loi de Newton relie la dérivée du vecteur quantité de mouvement à la somme des forces qui s'exercent sur le système. Retrouvez vous cette loi dans votre cours ?
Dans le cas d'un système de masse constante, la dérivée du vecteur quantité de mouvement s'écrit très simplement en fonction de la masse du système et de son vecteur accélération. Il vous faut aussi faire un bilan des forces qui s'exercent sur le système. Dans le cas présent, cette somme se résume à une seule force car les autres peuvent être négligées. Quelle est cette force ?
En écrivant la deuxième loi vous devriez retrouver la relation entre le vecteur accélération et le champ de pesanteur (vecteur g0).

[Marie S]

Dans mon cours j'ai que la somme des forces extérieures = dérivée du vecteur quantité de mouvement/ dérivée par rapport au temps.
N'ayant pas la masse de la voiture je ne vois pas comment je peux trouver le vecteur quantité de mouvement, et j'ai du mal avec la notion de dérivée par rapport au temps, je ne sais pas vraiment ce que ça signifie...

[SoS(43)]

Pour l'instant, nous cherchons une relation littérale donc nous n'avons pas besoin de valeur. La masse n'est pas donnée parce que nous verrons qu'elle n'intervient pas dans la relation entre le vecteur accélération et le champ de pesanteur (elle se simplifie). Revenons à l'expression de la dérivée du vecteur quantité de mouvement \(\frac{d \vec{p}}{dt}\) en fonction de la masse m et du vecteur accélérération \(\vec{a}\). Quelle est la définition du vecteur quantité de mouvement ? Quelle est la définition du vecteur accélération ?

[Marie S]

Le vecteur accélération = \(\frac{dv}{dt}\)
vecteur quantité de mouvement = m*(vecteur)v
Je n'arrive pas à placer g0 dans ces expressions...

[SoS(43)]

D'accord pour les définitions. On veut donc dériver \(\vec{p}=m.\vec{v}\) sachant que la masse est constante. Vous avez peut-être vu dans votre cours de mathématique comment on dérive un produit de fonctions : (u.v)' = u'.v + u.v'. En appliquant cela au produit \(m.\vec{v}\), qu'obtient-on ?
Pour faire apparaitre \(\vec{g_0}\), il faudra écrire le second membre de l'égalité c'est à dire expliciter la somme des forces : l'une d'elle fait intervenir \(\vec{g_0}\).

[Marie S]

(m*v)'= m'v +mv' comme m est constante sa dérivée = 1 mais je vois pas comment dériver le vecteur vitesse ?
Ensuite la voiture est soumise à la force de la gravité de par son poids et je suppose qu'elle est soumise à une force en relation avec sa vitesse ?
Merci vraiment de continuer à me répondre !
Marie

[SoS(43)]

Pour être plus exact il faut écrire \(\frac{d \vec{p}}{dt}=\frac{dm}{dt}.\vec{v}+m. \frac{d \vec{v}}{dt}\). Attention : la dérivée d'une constante n'est pas 1 mais 0. D'autre part, rappelez vous ce que représente la dérivée du vecteur vitesse (par définition...). Comment peut-on alors écrire la relation précédente ?
La voiture est effectivement soumise à son poids. Quelle est l'expression du poids \(\vec{P}\) en fonction de la masse m et du champ de pesanteur \(\vec{g_0}\) ?

[Marie S]

Là je ne vois vraiment pas...

[Marie S]

Par contre je sais que P = m*g

[SoS(43)]

La masse est constante donc \(\frac{dm}{dt}=0\) et vous l'avez écrit dans un post précédent \(\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}\) par définition. Il suffit de remplacer dans l'expression de \(\frac{d \vec{p}}{dt}\).
Pour le poids, il faut écrire la relation que vous donnez mais en tenant compte de la nature vectorielle du poids et du champ de pesanteur : \(\vec{P}=m.\vec{g_0}\)
Après avoir trouvé l'expression de \(\frac{d \vec{p}}{dt}\) en fonction de m et \(\vec{a}\) (ça devrait aller maintenant), écrivez la deuxième loi de Newton. Vous considèrerez que la seule force à prendre en compte est le poids. Quelle relation obtenez-vous entre \(\vec{a}\) et \(\vec{g_0}\) ?