On considère une bouée qui remonte des profondeurs d'un lac. Parmi les équations différentielles ci-dessous, laquelle permet de décrire l'évolution du système
aX"+b=0
aX"+bX+c=0
aX'+bX=0
aX'+bX+c=0
La résolution dit :
La bouée ( volume V) est soumise à son poids, verticale, vers le bas, valeur Mg, à la poussée d'Archimède, verticale, vers le haut, valeur constante Reau.gV, à une force de frottement fluide, colinéaire à la vitesse, de sens contraire, valeur kv ( aux faibles vitesses)
Écrire la seconde loi de Newton sur un axe vertical, orienté vers le haut : -Mg + Reau.gV -kv = MX" soit MX"+kX'-Reau.gV+Mg=0 du type aX"+bX' +c=0.
J'ai plusieurs questions à ce sujet :
1) pourquoi considère-t-on que V est constant alors qu'il est dépendant de la pression et donc de X.
2) pourquoi la solution ne serait pas : aX'+bX+c=0. En effet :
−mg + m1g −k v=m dv/dt (avec m la masse de la bouée et m1 la masse du fluide déplacé).
Ainsi: dv/dt +(k/m)v+g(1-m1/m)=0
3) au niveau terminale S, doit-on savoir pour quelle vitesse, le frottement est proportionnel à V ou V^2 ? Que doit-on savoir ?
Merci d'avance pour votre aide.
Bouée qui remonte et équation différentielle du système ?
Modérateur : moderateur
Re: Bouée qui remonte et équation différentielle du système
Bonjour.
Votre écriture de la seconde loi de Newton est exacte, mais vous n'avez pas la bonne interprétation en terme d'équation différentielle.
Reprenons vos questions :
je volume V de la bouée est constant : il s'agit d'une bouée rigide et donc peu ou pas sensible à la pression. Si le volume de la bouée changé, et donc la forme de celle ci modifierai la poussée d'Archimède et la force de frottement à travers la dépendance de celle si à l'aérodynamisme de l'objet en mouvement.
Au sujet de l'expression de la force de frottement fluide (due à un déplacement dans un gaz ou un liquide), vous n'avez pas à connaître la vitesse pour laquelle la relation kv cesse d'être valable. Sachez que l'expression de ce frottement peut être différente de kv^2. L'exposant peut être différente de 1 ou 2.
Il suffit que l'énoncé précise que la vitesse est faible pour que vous supposiez qu'elle s'écrit kv (sauf indication différente).
Et maintenant passons à la 2 loi de Newton dans la référentiel galiléen (terrestre) et dans le repère constitué d'un axe vertical dirigé vers le haut.
Appelons +A, la composante de la poussée d'Archimède sur cet axe vertical dirigé vers le haut, comme le volume de change pas elle reste constante.
Le poids à pour composante -P (ou -mg).
La composante de la force de frottement fluide a faible vitesse s'écrit -kv (elle est dirigé vers le bas opposé au mouvement).
La composante l'accélération est positive +a ou +dv/dt si vous le souhaitez.
De ce fait la seconde loi s'écrit bien −mg + A −k v=m dv/dt.
L'expression (−mg + A) est une constante, on peut la noter c.
-kV = -k(dx/dt) ou - kx' (la vitesse est la dérivée première de x)
Et enfin m dv/dt = m x'' (l'accélération est la dérivée de la vitesse c-à-d la dérivée seconde de x.
Ce qui donne mx''+kx'+c = 0
Encore une fois vous aviez écrit l bonne équation à l'aide de la 2 loi de Newton, mais vous n'aviez pas bien assimilé ce que signifiez dv/dt et v.
Votre écriture de la seconde loi de Newton est exacte, mais vous n'avez pas la bonne interprétation en terme d'équation différentielle.
Reprenons vos questions :
je volume V de la bouée est constant : il s'agit d'une bouée rigide et donc peu ou pas sensible à la pression. Si le volume de la bouée changé, et donc la forme de celle ci modifierai la poussée d'Archimède et la force de frottement à travers la dépendance de celle si à l'aérodynamisme de l'objet en mouvement.
Au sujet de l'expression de la force de frottement fluide (due à un déplacement dans un gaz ou un liquide), vous n'avez pas à connaître la vitesse pour laquelle la relation kv cesse d'être valable. Sachez que l'expression de ce frottement peut être différente de kv^2. L'exposant peut être différente de 1 ou 2.
Il suffit que l'énoncé précise que la vitesse est faible pour que vous supposiez qu'elle s'écrit kv (sauf indication différente).
Et maintenant passons à la 2 loi de Newton dans la référentiel galiléen (terrestre) et dans le repère constitué d'un axe vertical dirigé vers le haut.
Appelons +A, la composante de la poussée d'Archimède sur cet axe vertical dirigé vers le haut, comme le volume de change pas elle reste constante.
Le poids à pour composante -P (ou -mg).
La composante de la force de frottement fluide a faible vitesse s'écrit -kv (elle est dirigé vers le bas opposé au mouvement).
La composante l'accélération est positive +a ou +dv/dt si vous le souhaitez.
De ce fait la seconde loi s'écrit bien −mg + A −k v=m dv/dt.
L'expression (−mg + A) est une constante, on peut la noter c.
-kV = -k(dx/dt) ou - kx' (la vitesse est la dérivée première de x)
Et enfin m dv/dt = m x'' (l'accélération est la dérivée de la vitesse c-à-d la dérivée seconde de x.
Ce qui donne mx''+kx'+c = 0
Encore une fois vous aviez écrit l bonne équation à l'aide de la 2 loi de Newton, mais vous n'aviez pas bien assimilé ce que signifiez dv/dt et v.
-
Pierre (TS)
Re: Bouée qui remonte et équation différentielle du système
Bonjour et merci pour toute vos réponses.
Tout est bien clair pour moi maintenant. On est donc bien d'accord que la seule équation différentielle acceptable dans les 4 proposées est : aX'+bX+c=0 ?
Merci d'avance.
Tout est bien clair pour moi maintenant. On est donc bien d'accord que la seule équation différentielle acceptable dans les 4 proposées est : aX'+bX+c=0 ?
Merci d'avance.
Sos(29) a écrit :Bonjour.
Votre écriture de la seconde loi de Newton est exacte, mais vous n'avez pas la bonne interprétation en terme d'équation différentielle.
Reprenons vos questions :
je volume V de la bouée est constant : il s'agit d'une bouée rigide et donc peu ou pas sensible à la pression. Si le volume de la bouée changé, et donc la forme de celle ci modifierai la poussée d'Archimède et la force de frottement à travers la dépendance de celle si à l'aérodynamisme de l'objet en mouvement.
Au sujet de l'expression de la force de frottement fluide (due à un déplacement dans un gaz ou un liquide), vous n'avez pas à connaître la vitesse pour laquelle la relation kv cesse d'être valable. Sachez que l'expression de ce frottement peut être différente de kv^2. L'exposant peut être différente de 1 ou 2.
Il suffit que l'énoncé précise que la vitesse est faible pour que vous supposiez qu'elle s'écrit kv (sauf indication différente).
Et maintenant passons à la 2 loi de Newton dans la référentiel galiléen (terrestre) et dans le repère constitué d'un axe vertical dirigé vers le haut.
Appelons +A, la composante de la poussée d'Archimède sur cet axe vertical dirigé vers le haut, comme le volume de change pas elle reste constante.
Le poids à pour composante -P (ou -mg).
La composante de la force de frottement fluide a faible vitesse s'écrit -kv (elle est dirigé vers le bas opposé au mouvement).
La composante l'accélération est positive +a ou +dv/dt si vous le souhaitez.
De ce fait la seconde loi s'écrit bien −mg + A −k v=m dv/dt.
L'expression (−mg + A) est une constante, on peut la noter c.
-kV = -k(dx/dt) ou - kx' (la vitesse est la dérivée première de x)
Et enfin m dv/dt = m x'' (l'accélération est la dérivée de la vitesse c-à-d la dérivée seconde de x.
Ce qui donne mx''+kx'+c = 0
Encore une fois vous aviez écrit l bonne équation à l'aide de la 2 loi de Newton, mais vous n'aviez pas bien assimilé ce que signifiez dv/dt et v.
Re: Bouée qui remonte et équation différentielle du système
Non je croyais avoir été clair.
Lisez l'avant dernière ligne.
Reprenons.
De l'équation que vous avez obtenue avec la 2 loi de Newton dans un référentiel galiléen : −mg + A −k v=m dv
On arrive à : mdv/dt + kv + c = 0 avec c = (A-mg).
De là en remplaçant dv/dt par d^2x/dt^2 c-à-d la dérivée seconde de x que l'on peut noter x'' et v par dx/dt c-à-d la dérivé de x que l'on peut noter x' on arrive à mx'' + kx + c = 0.
L'équation différentielle du premier ordre à laquelle vous faites référence est une équation différentielle faisant intervenir la vitesse :
en notant dv/dt (dérivé de v) v', on arrive à : mv'+kv+c= 0. Mais dans cette équation comme vous pouvez le voir la variable est la vitesse alors que l'énoncé demande une équation faisant intervenir la variable x (position de la bouée en fonction du temps).
Lisez l'avant dernière ligne.
Reprenons.
De l'équation que vous avez obtenue avec la 2 loi de Newton dans un référentiel galiléen : −mg + A −k v=m dv
On arrive à : mdv/dt + kv + c = 0 avec c = (A-mg).
De là en remplaçant dv/dt par d^2x/dt^2 c-à-d la dérivée seconde de x que l'on peut noter x'' et v par dx/dt c-à-d la dérivé de x que l'on peut noter x' on arrive à mx'' + kx + c = 0.
L'équation différentielle du premier ordre à laquelle vous faites référence est une équation différentielle faisant intervenir la vitesse :
en notant dv/dt (dérivé de v) v', on arrive à : mv'+kv+c= 0. Mais dans cette équation comme vous pouvez le voir la variable est la vitesse alors que l'énoncé demande une équation faisant intervenir la variable x (position de la bouée en fonction du temps).
-
Pierre (TS)
Re: Bouée qui remonte et équation différentielle du système
Merci pour votre réponse. Par contre, je ne suis pas d'accord avec vous :
1° il n'est pas demandé dans l'énoncé, une équa diff avec X la position de la bouée. Il est écrit "Parmi les équations différentielles ci-dessous, laquelle permet de décrire l'évolution du système". Donc, on peut utiliser la vitesse de la bouée comme variable X selon moi.
2° vous posez l'équation mdv/dt + kv + c = 0 avec laquelle je suis d'accord. Par contre, celle-ci se traduit par mx" + kx' + c = 0 avec x le déplacement et non mx'' + kx + c = 0 comme vous écrivez, équation qui ne fait pas partie des solutions proposées.
Par contre, en prenant x = dv/dt, on obtient : mx'+kx+c=0 ce qui est équivalent à la dernière solution proposée : aX'+bX+c=0.
Est-on d'accord cette fois ? ;-)
Merci d'avance pour votre réponse et encore merci pour votre patience.
1° il n'est pas demandé dans l'énoncé, une équa diff avec X la position de la bouée. Il est écrit "Parmi les équations différentielles ci-dessous, laquelle permet de décrire l'évolution du système". Donc, on peut utiliser la vitesse de la bouée comme variable X selon moi.
2° vous posez l'équation mdv/dt + kv + c = 0 avec laquelle je suis d'accord. Par contre, celle-ci se traduit par mx" + kx' + c = 0 avec x le déplacement et non mx'' + kx + c = 0 comme vous écrivez, équation qui ne fait pas partie des solutions proposées.
Par contre, en prenant x = dv/dt, on obtient : mx'+kx+c=0 ce qui est équivalent à la dernière solution proposée : aX'+bX+c=0.
Est-on d'accord cette fois ? ;-)
Merci d'avance pour votre réponse et encore merci pour votre patience.
Sos(29) a écrit :Non je croyais avoir été clair.
Lisez l'avant dernière ligne.
Reprenons.
De l'équation que vous avez obtenue avec la 2 loi de Newton dans un référentiel galiléen : −mg + A −k v=m dv
On arrive à : mdv/dt + kv + c = 0 avec c = (A-mg).
De là en remplaçant dv/dt par d^2x/dt^2 c-à-d la dérivée seconde de x que l'on peut noter x'' et v par dx/dt c-à-d la dérivé de x que l'on peut noter x' on arrive à mx'' + kx + c = 0.
L'équation différentielle du premier ordre à laquelle vous faites référence est une équation différentielle faisant intervenir la vitesse :
en notant dv/dt (dérivé de v) v', on arrive à : mv'+kv+c= 0. Mais dans cette équation comme vous pouvez le voir la variable est la vitesse alors que l'énoncé demande une équation faisant intervenir la variable x (position de la bouée en fonction du temps).
Re: Bouée qui remonte et équation différentielle du système
Oups.
Effectivement j'ai fait une erreur de frappe.
Effectivement l'équation mdv/dt + kv + c = 0 se traduit par mx" + kx' + c = 0.
Donc si l'on choisit de symboliser la vitesse par la lettre x, vous avez raison.
Donc à préciser dans la correction.
Nous sommes d'accord.
Effectivement j'ai fait une erreur de frappe.
Effectivement l'équation mdv/dt + kv + c = 0 se traduit par mx" + kx' + c = 0.
Donc si l'on choisit de symboliser la vitesse par la lettre x, vous avez raison.
Donc à préciser dans la correction.
Nous sommes d'accord.
-
Pierre (TS)
Re: Bouée qui remonte et équation différentielle du système
Parfait ! Merci beaucoup et bonne soirée à vous !
Sos(29) a écrit :Oups.
Effectivement j'ai fait une erreur de frappe.
Effectivement l'équation mdv/dt + kv + c = 0 se traduit par mx" + kx' + c = 0.
Donc si l'on choisit de symboliser la vitesse par la lettre x, vous avez raison.
Donc à préciser dans la correction.
Nous sommes d'accord.