trouver température d'équilibre

[Jude]

Dans un calorimètre est placé un bloc de glace de 100g (\(m_g\)) à -5°C. On y ajoute 100g \(m_e\) d'eau à 90°C.
données :
chaleur latente de fusion de la glace : \(L_f = 335000 J/kg\)
chaleur massique de l'eau : \(C_e = 4185 J.kg^{-1}.K^{-1}\)
chaleur massique de la glace : \(C_g = 2100 J.kg^{-1}.K^{-1}\)

Question 1 : Reste-t-il de la glace lorsque l’équilibre thermique est atteint ?

quantité de chaleur \(Q1\) nécessaire au bloc de glace pour atteindre l'état d'eau à 0°C :
\(Q1 = m_g.C_g(T_f-T_i_g)+m_g.L_f = 34550 J\)
quantité de chaleur Q2 dégagée par l'eau pour atteindre 0°C :
\(Q2 = m_e.C_e(T_f-Ti_e) = -37665 J\)

Il faut moins de quantité de chaleur que n'en produit le refroidissement de l'eau pour faire fondre la glace, donc il ne reste plus de glace à l'équilibre.

Question 2 : Quelle-est- la température d'équilibre ?

\(Q1+Q2=0\)

soit \(m_g.C_g(T_f-T_i)+m_g.L_f+m_e.C_e(T_f-Ti)=0\)

(je fais grâce du développement)

d'où : \(T_f = \frac{m_g(C_gT_i_g-L_f)+m_e.C_e.T_i_e}{m_g.C_g+m_e.C_e}\)

Je trouve 4,9°C. Mais une autre méthode considère la somme des quantités de chaleur \(Q1\) et \(Q2\) calculées précédemment soit -3115 J et établie la relation suivante :

\(m_eC_e(T_f-Ti)=3115\) où \(Ti=\)0°C

\(T_f = \frac{3115}{(m_g+m_e)C_e\). On trouve alors 3,7°C.

Je ne comprends pas trop la seconde méthode et la différence des deux résultats. Où est l'erreur ?
Merci pour votre aide.

[SoS(14)]

Bonjour Jude,

L'erreur provient de votre écriture :

soit mg.Cg(Tf-Ti)+mg.Lf+me.Ce(Tf-Ti)=0

qui ne prend pas en compte le fait que la glace après avoir atteint zéro degré puis après avoir changé d'état, doit encore gagner qqs degré afin d'atteindre la température d'équilibre dont vous avez montré à la 1° qu'elle était positive. Par ailleurs votre écriture ne distingue pas le fait que la glace et l'eau ne sont pas initialement à la même température (vous avez utilisé deux fois Ti alors que cela ne correspond pas à la même valeur dans les deux cas -5°C pour la glace, 90 °C pour l'eau). Je noterai Ti1 = -5°C et Ti2 = 90°C, To = 0°C et Tf la température finale.

Donc il faudrait écrire mg.Cg(To-Ti1)+mg.Lf+mg.Ce(Tf-To) + me.Ce(Tf-Ti2)= 0
le terme en gras traduit le fait que la glace devenu liquide doit arriver à la température Tf

L'écriture que vous proposez pour la seconde manière de résoudre l'équation est incorrecte car c'est "mg" qui intervient et non "me" (quoiqu'ici les deux valeurs ne soient pas si éloignées que ça, non ?)

meCe(Tf-Ti)=3115 o

et après c'est encore plus faux car il intervient la somme "mg + me"

Tf = 3115/(mg+me)Ce

alors qu'il ne devrait y avoir que mg ...

Sos(14)

[Jude]

Bien alors je reprends avec la première méthode de la Question n°2 qui m’apparaît la plus conforme.

Effectivement j'ai omis de distinguer les \(T_i\) mais je les avais bien distingué sur ma copie (ce qui m'a donné \(T_f=\)4,9°C). Je reprends vos dénominations et considère également la quantité de chaleur dégagée pour le passage l'eau de de \(T_o=\)0°C à la température d'équilibre \(T_f\).

\(mg.C_g(T_o-T_i_1)+m_g.L_f+m_g.C_e(T_f-T_o)+m_e.C_e(T_f-T_i_2)= 0\)

\(m_g.C_g.T_o-m_g.C_g.T_i_1+m_g.L_f+m_g.C_e.T_f-m_g.C_e.T_o+m_e.C_e.T_f-m_e.C_e.T_i_2=0\)

\(m_g.C_g.T_o-m_g.C_g.T_i_1+m_g.L_f-m_g.C_e.T_o-m_e.C_e.T_i_2=-m_g.C_e.T_f-m_e.C_e.T_f\)

\(m_g.C_g.T_o-m_g.C_g.T_i_1+m_g.L_f-m_g.C_e.T_o-m_e.C_e.T_i_2=T_f.C_e(-m_g-m_e)\)

\(T_f=\frac{m_g.C_g.T_o-m_g.C_g.T_i_1+m_g.L_f-m_g.C_e.T_o-m_e.C_e.T_i_2}{-C_e(m_g+m_e)}\)

AN: 0-100.10^-3x2100x-5+100.10^-3x335000-0-100.10^-3x4185x90/-4185x100.10^-3+100.10^-3 = 7,4°C

Je ne parviens cependant pas à comprendre la masse d'eau engagée dans le passage de 0°C à \(T_f\) car à 0°C n'y a-t-il pas 200g d'eau ? Pourquoi considérer seulement les 100g issu de la glace dans le calcul de cette quantité de chaleur ?

Merci pour vos éclaircissements.

[SoS(19)]

Bonjour Jude, je viens de reprendre vos calculs. Votre relation finale est juste mais l'AN erronée. Je trouve +3,7 °C.
Essayer de la reprendre. Je pense que vous avez oublié de convertir la température en Kelvin.

Je ne parviens cependant pas à comprendre la masse d'eau engagée dans le passage de 0°C à car à 0°C n'y a-t-il pas 200g d'eau ? Pourquoi considérer seulement les 100g issu de la glace dans le calcul de cette quantité de chaleur ?

Si vous observez bien l'expression, le passage de la glace de 0°C à Tf a été prise en compte. Quant à l'eau, elle passe de 90 °C à Tf sans passer par 0°C.
Est-ce clair?

[Jude]

Bonsoir,

Effectivement l'AN donne bien 3,7°C. Elle était un peu mal posée. Au dénominateur j'avais oublié les parenthèses : -4185x(100.10^-3+100.10^-3) et non pas -4185x100.10^-3+100.10^-3.

Ah oui OK pour la masse d'eau liquide. Effectivement elle ne passe par 0°C. Je pense avoir saisi maintenant.

NB : Je me suis également posé la question au sujet des degrés que nous ne convertissons jamais en Kelvin dans les corrections de ces exercices de thermodynamique.

Merci pour tout.

[SoS(23)]

Bonsoir
Merci et à bientôt sur le forum.